Асимптотические методы решения уравнений с пограничным слоем. Клюев Н.И. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СГАУ | Самара

Составители: 

Рубрика: 

5
Дифференциальное уравнение (1.1) является сингулярно-возмущенным, так как
малый параметр стоит при старшей производной, и его решение предполагает наличие
математического пограничного слоя в окрестности одной (или двух) граничных точек.
Если заранее неизвестно, где располагается пограничный слой, то поступают
следующим образом: назначают место расположения слоя произвольно и, если
сращивание асимптотических разложений удается осуществлять, то место выбрано
правильно. В противном случае процедуру решения повторяют для другой точки.
Предположим, что пограничный слой располагается в окрестности граничной
точки
x
= 0. Общее решение дифференциального уравнения (1.1) ищется как
составное: внешнее решение
0
y , которое удовлетворяет дифференциальному
уравнению вне пограничного слоя, и внутреннее решение
i
y , пригодное внутри
пограничного слоя.
Внешнее решение представим в виде бесконечного степенного ряда по малому
параметру
n
n
n
yy
ε
⋅=
∑
∞
=0
0
(1.3)
Подставим (1.3) в (1.1) и, ограничиваясь нулевым и первым приближением, запишем :
нулевое
(
)
β
=
=
+
′
1 ,0
000
yyy (1.4)
и первое приближения
(
)
.01 ,
1011
=
′
′
−
=
+
′′
yyyy (1. 5)
Решение для нулевого приближения имеет вид
x
ey
−
=
1
0
β
.
Решение для
дифференциального уравнения (1.5) ищется как сумма общего решения
соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного
уравнения. С учетом граничных условий внешнее разложение примет вид
(
)
.1
110 xx
exey
−−
−+=
εββ
(1.6)
Найдем внутреннее разложение в области пограничного слоя. Для этого введем
в рассмотрение растягивающую координату в окрестности точки 0=x , т.е.
ε
ξ
x
=
.
Запишем уравнение (1.1) для новой координаты, при этом учтем следующие соотношения:

Страницы