Многофотонные процессы в атоме. Клюев В.Г. - 5 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

момент времени t система функций Ψ
S
(r,t) образует полный
ортонормированный базис. Тогда любую функцию Ψ(r,t) можно разложить
по этому базису:
Ψ(r,t) = ΣА
S
Ψ
S
(r,t) (1.10)
В силу периодичности гамильтониана базисные функции Ψ
S
(r,t+2π/ω),
взятые через период, также будут решениями уравнения Шредингера и
образуют новый базис. Следовательно , и их можно разложить по базису в
этот же момент времени t:
Ψ
S
(r, t+2π/ω) =Σa
SN
Ψ
N
(r,t) (1.11)
Записав (1.10) для момента времени t+2π/ω, получим:
Ψ(r, t+2π/ω) = ΣA
S
Ψ
S
(r, t+2π/ω) (1.12
(1.12) представляет собой разложение волновой функции Ψ(r,t) для
момента t+2π/ω. Подставив (1.11) в (1.12), получим разложение Ψ по новому
базису:
Ψ(r, t+2π/ω) = ΣA
S
Σa
SN
Ψ
N
(r,t) (1.13)
Выберем коэффициенты A
S
в (1.10) так, чтобы выполнялось
соотношение :
ΣA
S
a
SN
= kA
N
(1.14)
Тогда , подставляя (1.14) в систему уравнений (1.13) и используя (1.10),
получим:
Ψ(r, t+2π/ω) = kΨ(r,t) (1/15)
Система однородных линейных уравнений (1.14) обладает решениями
≠0 при условии: Det=0, т.е .
0
ka...aa
............
a...kaa
a...aka
hh2h1h
h22221
h11211
=
−
−
−
, (1.16)
где h-размерность базиса Ψ
S
. Если взять какой-нибудь корень уравнения
(1.16) - k
α
и построить функцию Ψ(r,t) = Ψ
(α)
(r,t), то она будет решением
уравнения Шредингера и будет удовлетворять (1.15). Из требования
сохранения нормировки волновой функции для любого момента t следует,
что : k
α
=exp(-i(2π/ω)E
α
), (1.17)
где E
α
– вещественное число . Это следует из эрмитовости матрицы a
SN
.
Функция, удовлетворяющая условию (1.15) имеет вид:
Ψ
(α)
(r,t) = exp(-iE
α
t) φ
(α)
(r,t), (1.18)
где φ
(α)
(r,t) – периодическая функция времени, т.е .
φ
(α)
(r,t+2π/ω) = φ
(α)
(r,t) (1.19)
Соотношения (1.18) и (1.19) составляют содержание теоремы Флоке :
Уравнение Шредингера с периодическим возмущением имеет h
частных решений, удовлетворяющих условиям (1.18) и (1.19)и они взаимно
ортогональны .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
                мо ме нт вр е ме ни t си сте ма ф ункци й                       ΨS(r,t) о б р а зуе т по лны й
                о р то но р ми р о ва нны й б а зи с. То г да лю б ую ф ункци ю Ψ(r,t) мо ж но р а зло ж и ть
                по это му б а зи су:
                                                         Ψ(r,t) = ΣА SΨ S(r,t)                            (1.10)
                         В си лу пе р и о ди чно сти г а ми льто ни а на б а зи сны е ф ункци и ΨS(r,t+2π/ω),
                взяты е че р е з пе р и о д, та кж е б удут р е ш е ни ями ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и
                о б р а зую т но вы й б а зи с. Сле до ва те льно , и и х мо ж но р а зло ж и ть по б а зи су в
                это тж е мо ме нтвр е ме ни t:
                                                   ΨS(r, t+2π/ω) =ΣaSNΨN(r,t)                             (1.11)
                         За пи са в (1.10) для мо ме нта вр е ме ни t+2π/ω, по лучи м:
                                                   Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΨ S(r, t+2π/ω)                        (1.12
                         (1.12) пр е дста вляе т со б о й р а зло ж е ни е во лно во й ф ункци и Ψ(r,t) для
                мо ме нта t+2π/ω. По дста ви в (1.11) в (1.12), по лучи м р а зло ж е ни е Ψ по но во му
                б а зи су:
                                                    Ψ(r, t+2π/ω) = ΣASΣaSNΨN(r,t)                         (1.13)
                         В ы б е р е м ко эф ф и ци е нты AS        в (1.10) та к, что б ы вы по лняло сь
                со о тно ш е ни е :
                                                        ΣASaSN = kAN                                      (1.14)
                         То г да , по дста вляя (1.14) в си сте му ур а вне ни й (1.13) и и спо льзуя (1.10),
                по лучи м:
                                                    Ψ(r, t+2π/ω) = kΨ(r,t)                               (1/15)
                         Си сте ма о дно р о дны х ли не йны х ур а вне ни й (1.14) о б ла да е тр е ш е ни ями
                ≠0 пр и усло ви и : Det=0, т.е .
                                                a 11 − k     a 12    ...   a 1h
                                               a 21    a 22 − k ...    a 2h
                                                                             =0,                        (1.16)
                                               ...         ...  ...     ...
                                               a h1       a h2  ... a hh − k
                г де h-р а зме р но сть б а зи са Ψ S . Е сли взять ка ко й-ни б удь ко р е нь ур а вне ни я
                (1.16) - kα и по стр о и ть ф ункци ю Ψ(r,t) = Ψ(α)(r,t), то о на б уде т р е ш е ни е м
                ур а вне ни я Ш р е ди нг е р а и б уде т удо влетво р ять (1.15). И з тр е б о ва ни я
                со хр а не ни я но р ми р о вки во лно во й ф ункци и для лю б о г о мо ме нта t сле дуе т,
                что :                      kα =exp(-i(2π/ω)Eα),                                          (1.17)
                г де Eα – ве щ е стве нно е чи сло . Э то следуе ти з эр ми то во сти ма тр и цы aSN.
                        Ф ункци я, удо влетво р яю щ а я усло ви ю (1.15) и ме е тви д:
                                              Ψ(α)(r,t) = exp(-iEαt) φ (α)(r,t),                         (1.18)
                       (α)
                г де φ (r,t) – пе р и о ди че ска я ф ункци я вр е ме ни , т.е .
                                      φ (α)(r,t+2π/ω) = φ (α)(r,t)                                       (1.19)
                        Со о тно ш е ни я (1.18) и (1.19) со ста вляю тсо де р ж а ни е те о р е мы Ф ло ке :
                        У р авне ни е Ш р е д и нге р а с пе р и од и че с ки м возм ущ е ни е м и м е е т h
                час т ных р е ше ни й, уд овле т вор яющ и х ус лови ям (1.18) и (1.19)и они взаи м но
                ор т огональны.




PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com

Страницы