ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Во втором порядке теории возмущений возможно поглощение или
испускание двух фотонов, а также взаимодействие , не сопровождающееся
этими процессами (упругое рассеяние ).
Вероятность двухфотонного перехода
Аналогично п.1 будем считать , что возмущение включается
адиабатически по закону exp(αt), где α→0.
Подставляя в правую часть (2.1) выражение для 1-го порядка теории
возмущений (2.4) и интегрируя, получаем:
α−ω
α+ω
+
α−ω+ω
α+ω+ω
ω−+
+
α−ω−ω
α+ω−ω
+
α−ω
α+ω
ω=
i
kn
)tt
kn
iexp(
i2
kn
)]tt)2
kn
(iexp[
)(
)2(
kn
V
i2
kn
)]tt)2
kn
(iexp[
i
kn
)tt
kn
iexp(
)(
)2(
kn
V
)2(
k
a
, (2.8)
где
∑∑
ω≡
ω−ω
=
ω−ω
=ω
mm
2)2(
kn
mn
mnkm
2
mn
)1(
mn
)1(
km
)2(
kn
E)(Z
ZZ
E
4
1
)(4
VV
)(V (2.9)
Величина
)2(
kn
V называется двухфотонным матричным элементом. Он
содержит сумму по промежуточным состояниям m. В отличие от энергий
начального и конечного состояний, связанных законом сохранения энергии,
энергии состояний m могут быть произвольными . Переходы n→m и m→k
называются виртуальными.
Согласно соотношению неопределенностей, время нахождения
электрона в виртуальном состоянии m по порядку величины составляет
∆t~(ω
mn
-ω)
-1
и вследствие соотношения ω
mn
≠ω имеет порядок ∆t~10
-17
c, т.е .
мало по сравнению с временем перехода n→k. По этой причине состояния m
называются виртуальными .
В выражении (2.8) первое слагаемое описывает процесс с поглощением
и последующим испусканием фотона частоты ω , второе слагаемое – процесс
с поглощением двух фотонов, третье – с испусканием двух фотонов,
четвертое – с испусканием и последующим поглощением фотона .
Видно , что даже в столь простом случае одночастотного возмущения
явное выражение для волновой функции во 2-м порядке теории возмущений
становится весьма громоздким. Поэтому, для того чтобы стандартным
способом быстро написать многочисленные слагаемые К-го порядка теории
возмущений, развита так называемая диаграммная техника .
3.Диаграммная техника для одночастотного возмущения
Из (2.8) видно , что уже во 2-м порядке теории возмущений амплитуда
)2(
k
a состоит из 4-х слагаемых. С ростом порядка теории возмущений число
таких слагаемых резко возрастает. Поэтому желательно иметь стандартную
процедуру написания амплитуды для любого порядка .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
В о вто р о м по р ядке те о р и и во змущ е ни й во змо ж но по г ло щ е ни е и ли
и спуска ни е двух ф о то но в, а та кж е вза и мо де йстви е , не со пр о во ж да ю щ е е ся
эти ми пр о це сса ми (упр уг о е р а ссе яни е ).
В е р о ятно сть двухф о то нно г о пе р е хо да
А на ло г и чно п.1 б уде м счи та ть, что во змущ е ни е вклю ча е тся
а ди а б а ти че ски по за ко ну exp(αt), г де α→0.
По дста вляя в пр а вую ча сть (2.1) выр а ж е ни е для 1-г о по р ядка те о р и и
во змущ е ни й (2.4) и и нте г р и р уя, по луча е м:
( 2) ( 2) exp(iωkn t + αt ) exp[i (ωkn − 2ω) t + αt )]
a k = Vkn (ω) + +
ω kn − i α ω kn − 2ω − i α
, (2.8)
( 2) exp[i(ωkn + 2ω) t + αt )] exp(iωkn t + αt )
+ V ( −ω) +
kn
ωkn + 2ω − iα ωkn − iα
г де
(1) (1)
Vkm Vmn 1 Z Z
Vkn( 2) (ω) = ∑ = E 2 ∑ km mn ≡ Z (kn2 ) (ω) E 2 (2.9)
m 4(ω mn − ω) 4 m ωmn − ω
В е ли чи на Vkn( 2) на зы ва е тся двухф о то нны м ма тр и чны м элеме нто м. О н
со де р ж и т сумму по пр о ме ж уто чны м со сто яни ям m. В о тли чи е о т эне р г и й
на ча льно г о и ко не чно г о со сто яни й, связа нны х за ко но м со хр а не ни я эне р г и и ,
эне р г и и со сто яни й m мо г ут б ы ть пр о и зво льны ми . Пе р е ход ы n→m и m→k
называют с я ви р т уальным и .
Со г ласно со о тно ш е ни ю не о пр е де ленно сте й, вр е мя на хо ж де ни я
электр о на в ви р туа льно м со сто яни и m по по р ядку ве ли чи ны со ста вляе т
∆t~(ω mn-ω)-1 и вследстви е со о тно ш е ни я ω mn ≠ω и ме е тпо р ядо к ∆t~10-17c, т.е .
ма ло по ср а вне ни ю с вр е ме не м пе р е хо да n→k. По это й пр и чи не со сто яни я m
на зы ва ю тся ви р туа льны ми .
В вы р а ж е ни и (2.8) пе р во е сла г а е мо е о пи сы ва е тпр о це сс с по г ло щ е ни е м
и по сле дую щ и м и спуска ни е м ф о то на ча сто ты ω, вто р о е слаг а е мо е – пр о це сс
с по г ло щ е ни е м двух ф о то но в, тр е тье – с и спуска ни е м двух ф о то но в,
че тве р то е – с и спуска ни е м и по сле дую щи м по г ло щ е ни е м ф о то на .
В и дно , что да ж е в сто ль пр о сто м случа е о дно ча сто тно г о во змущ е ни я
явно е вы р а ж е ни е для во лно во й ф ункци и во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й
ста но ви тся ве сьма г р о мо здки м. По это му, для то г о что б ы ста нда р тны м
спо со б о м б ы стр о на пи са ть мно г о чи сленны е сла г а е мы е К-г о по р ядка те о р и и
во змущ е ни й, р а зви та та к на зы ва е ма я ди а г р а ммна я те хни ка .
3.Д и а г р а ммна я те хни ка для о дно ча сто тно г о во змущ е ни я
И з (2.8) ви дно , что уж е во 2-м по р ядке те о р и и во змущ е ни й а мпли туда
(2)
a со сто и ти з 4-х слаг а е мы х. С р о сто м по р ядка те о р и и во змущ е ни й чи сло
k
та ки х сла г а е мы х р е зко во зр а ста е т. По это му ж е лате льно и ме ть ста нда р тную
пр о це дур у на пи са ни я а мпли туды для лю б о г о по р ядка .
PDF created with FinePrint pdfFactory Pro trial version http://www.fineprint.com
