Многофотонные процессы в атоме - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

27
(1)
(1)
1
exp(),
2
1
exp().
2
n
nkk
k
knn
a
i=Vai
Δ t
t
a
i=VaiΔt
t
ü
ï
-×
ï
ï
ý
ï
ï
×
ï
þ
(3.2)
Точные решения системы (3.2) для амплитуд проще получать непо-
средственно аналитически.
Общее решение уравнения Шредингера запишем в виде
Ψ = C
n
· Ψ
(n)
+ C
k
· Ψ
(k)
, где C
n
, C
k
– произвольные константы, определяе-
мые из начальных условий, а Ψ
(n),(k)
– базисные ортонормированные со-
стояния системы в поле, которые определяются решением (3.2);
()(0)(0)
()(0)(0)
11
()exp()()()exp()(),
2222
11
()exp()()() exp()().
2222
n
nk
k
nk
ΔΔΔΔ
Ψ=+iΩtΨtSiΩ+t Ψt
ΩΩ
ΔΔΔΔ
Ψ =SiΩ+t Ψt++iΩ+t Ψt
ΩΩ
êúêú
-×--×
êúêú
êúêú
ëûëû
éùéù
êúêú
--×-×
êúêú
êúêú
ëûëû
(3.3)
Здесь
2
2122
11
22
()2
nknk
Ω = Δ +V=Δ+zE
(3.4)
– так называемая частота Раби;
(1)
(1)
;
nk
kn
V
S=
V
(0)
n,k
Ψ
– невозмущенные волновые функции уровней n и k.
Из (3.4) видно, что в точном резонансе, когда Δ = 0, так называемая
резонансная частота Раби определяется возмущением состояний n, k в
поле. Эта величина характеризует ширину резонанса. Из (3.3) следует, что
каждое из состояний Ψ
(n), (k)
двухуровневой системы в поле определяется
обоими начальными состояниями
(0)
()
n,k
Ψ t
(в отсутствие поля) с различным
весом. Для определения констант С
n
, C
k
необходимо знать начальные ус-
ловия, постановка которых связана с соотношением между временем
включения и расстройкой резонанса.
Условия применимости
Условия применимости резонансного приближения эквивалентны
условиям, при которых амплитуды медленно осциллируют во времени.
Как видно из (3.3), осцилляции решений со временем определяются часто-
тами Δ и Ω. Медленность осцилляций означает малость этих частот по
сравнению с атомными частотами ω
kn
, то есть с расстоянием между уров-
нями. Используя выражение (3.4), находим, что амплитуды a
n,k
(t) – мед-
ленно изменяющиеся функции времени в случае выполнения следующих
условий: 
          ¶ an 1 (1)                      ü
       i      = Vnk ak exp( - iΔ × t ),ïï
           ¶t 2                           ï
                                          ý                                         (3.2)
          ¶ ak 1 (1)                      ï
        i     = Vkn an exp(iΔ × t ). ïï
           ¶t 2                           þ
        Точные решения системы (3.2) для амплитуд проще получать непо-
средственно аналитически.
        Общее решение уравнения Шредингера запишем в виде
Ψ = Cn · Ψ(n) + Ck · Ψ(k), где Cn, Ck – произвольные константы, определяе-
мые из начальных условий, а Ψ(n),(k) – базисные ортонормированные со-
стояния системы в поле, которые определяются решением (3.2);
          1 Δ        é       Δ ù                 1 Δ         é     Δ ù
 Ψ (n) = ( + )expêê i(Ω - )túú × Ψn(0) (t) - S ( - )expêê i(Ω+ )túú × Ψk(0) (t),
          2 Ω        ëê      2 ûú                2 Ω         ëê    2 ûú
            1 Δ          é     Δ ù                1 Δ           é      Δ ù
 Ψ (k) =S ( - )expêê -i(Ω+ )túú × Ψn(0) (t) + ( + ) expêê i( - Ω+ )túú × Ψk(0) (t). (3.3)
            2 Ω         ëê     2 ûú               2 Ω           ëê     2 ûú
                           1                2  1
        Здесь          Ω=      Δ2 + Vnk( 1 ) =     Δ2 + znk2 E 2                    (3.4)
                           2                   2
– так называемая частота Раби;
              Vnk(1)
        S = (1) ;
              Vkn

        (0)
      Ψ n,k – невозмущенные волновые функции уровней n и k.
      Из (3.4) видно, что в точном резонансе, когда Δ = 0, так называемая
резонансная частота Раби определяется возмущением состояний n, k в
поле. Эта величина характеризует ширину резонанса. Из (3.3) следует, что
каждое из состояний Ψ(n), (k) двухуровневой системы в поле определяется
                                    (0)
обоими начальными состояниями Ψ n,k     (t ) (в отсутствие поля) с различным
весом. Для определения констант Сn, Ck необходимо знать начальные ус-
ловия, постановка которых связана с соотношением между временем
включения и расстройкой резонанса.

     Условия применимости
     Условия применимости резонансного приближения эквивалентны
условиям, при которых амплитуды медленно осциллируют во времени.
Как видно из (3.3), осцилляции решений со временем определяются часто-
тами Δ и Ω. Медленность осцилляций означает малость этих частот по
сравнению с атомными частотами ωkn, то есть с расстоянием между уров-
нями. Используя выражение (3.4), находим, что амплитуды an,k(t) – мед-
ленно изменяющиеся функции времени в случае выполнения следующих
условий:

                                           27

Страницы