Численные методы решения задач строительного профиля в среде MathCad. Кокорин А.М. - 8 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

14 15
p
Fb()
2
b
Fb()
d
d
2
×:=
x
0
if
p
0
>
b
,
a
,
:=
За следующее приближение принимается другой конец промежутка.
Вычисления по формулам производятся до тех пор, пока не совпадут
две последние итерации.
Итерационный процесс:
i
0
n
..
:=
x
i 1+
if p 0> x
i
Fx
i
( )
x
i
a
-
(
)
Fx
i
( )
Fa()-
( )
×-, x
i
Fx
i
( )
b x
i
-
(
)
Fb() Fx
i
( )
-
( )
×-,
é
ê
ë
ù
ú
û
:=
x
0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
1.40000
1.35381
1.35746
1.35717
1.35719
1.35719
1.35719
1.35719
1.35719
=
Точность вычислений:
eps
x
n
x
n
1
-
-
:=
n
n
-
8
-
eps
1.182
10
8-
´
=
II. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Дифференциальные уравнения (ДУ) – это уравнения, которые со-
держат одну или несколько производных любых порядков от искомой
функции. Порядком ДУ называется порядок старшей производной, вхо-
дящей в уравнение. Если в уравнения входят производные только по
одной переменной, то они называются обыкновенными дифференциаль-
ными уравнениями (ОДУ). В противном случае говорят об уравнениях
в частных производных. Решить (иногда говорят проинтегрировать) диф-
ференциальное уравнение – значит определить неизвестную функцию
на определенном интервале изменения ее переменных. Эта функция,
будучи подставленная в исходное ДУ, обращает его в тождество.
Рассмотрим ОДУ первого порядка, которые в общем случае имеют
вид
F(x, y, y2) = 0. (12)
Если это уравнение удается разрешить относительно производной,
то получим ОДУ первого порядка в нормальной форме
y2 = f (x, y2). (13)
Общее решение такого уравнения записывается в виде
y = j(x, c). (14)
ОДУ порядка n записываются в виде
F(x, y ,y
2, y3, …, y
n
) = 0, (15)
где F – известная функция; x – независимая переменная.
Если это уравнение удается разрешить относительно старшей
производной y
n
, то получаем уравнение порядка n в нормальной форме
y
n
= f (x, y, y
2, y3, …, y
n-1
). (16)
Общее решение этого уравнения записывают в виде
y = j(x, c
1
, c
2
, …, c
n
). (17)
Уравнение (16) можно свести к системе уравнений, содержащих
производные нескольких неизвестных функций по одной и той же неза-
висимой переменной x:
”
ï
ï
î
ï
ï
í
ì
=
=
=
). ,...,,,(
................................
), ,...,,,(
), ,...,,,(
21
1
212
1
2
211
1
1
nnn
n
n
yyyxfy
yyyxfy
yyyxfy
(18)
Кроме общего решения различают частные решения и особые ре-
шения. Частным решением ДУ называется такое решение, которое по-
лучается из общего при определенном значении произвольной постоян-
ной c. Как известно, одно ОДУ или их система имеет единственное ре-
шение, если помимо уравнения определенным образом заданы началь-
ные или граничные условия. В соответствующих курсах высшей мате-
матики доказываются теоремы о существовании и единственности ре-
шения в зависимости от тех или иных условий. Мы не будем касаться
методов нахождения общих решений ОДУ. Рассмотрим численное ре-
шение задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений.

Страницы