Численные методы решения задач строительного профиля в среде MathCad. Кокорин А.М. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПбГАСУ | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16 17
1. Метод Эйлера для уравнения первого порядка
Решим задачу Коши для ОДУ первого порядка (13) при начальном
условии
y (x
0
) = y
0
. (19)
Функция f (x, y) определена, непрерывна и имеет непрерывную
частную производную
y
f
в некоторой области интегрирования D. Найти
численное решение задачи Коши на отрезке [a, b] – это значит построить
таблицу значений искомого решения при дискретных значениях
аргумента x:
а = x
0
< x
1
< x
2
< … < x
n–1
< x
n
= b. (20)
Величину h = x
i+1
– x
i
называют шагом вычислений,
h
ab
n
-
=
–
количество отрезков. Значения искомой функции y, соответствующие
указанным значениям аргумента x, обозначим через y
0
, y
1
…, y
n
. Численный
метод решения задачи Коши, использующий формулу
y
i+1
= y
i
+ h f (x
i
, y
i
) (i = 0, 1, …, n – 1), (21)
называется методом Эйлера. По этой формуле при известных x
0
, y
0
можно
последовательно построить искомое решение.
2. Метод Эйлера для уравнения второго порядка
Решим задачу Коши для системы ОДУ второго порядка (17) для
начальных условий
y
1
(x
0
) = y
10
, y
2
(x
0
) = y
20
. (22)
Построим таблицу значений искомого решения при дискретных
значениях аргумента x: a = x
0
< x
1
< x
2
< … < x
n–1
< x
n
= b.
Метод Эйлера для ДУ первого порядка [2] легко обобщается для
системы (16):
î
í
ì
+=
+=
+
+
),,(
),,(
21221 ,2
21111 ,1
iiiii
iiiii
yyxhfyy
yyxhfyy
)
1
,
0
(
=
i
(23)
В работе [2] даны с подробным объяснением примеры, использующие
для решения задачи Коши для ДУ и систем ДУ метод Эйлера. В настоящем
пособии рассмотрим реализацию этих решений в системе MathCad.
3. Примеры
3.1. Метод Эйлера для уравнения первого порядка
Решить задачу Коши для ДУ
1(1) ,
2
1
== y
y
x
y
(24)
на интервале [1, 10] с шагом h = 0.2 с помощью метода Эйлера. Известно
точное решение задачи Коши:
3
12
)(
3
+
=
t
tu .
Листинг 7. Уравнения первого порядка.
Введем начальные данные.
Правая часть ДУ:
fxu,( )
x
2
u
:=
0
1
:=
Начальные условия:
x
0
1
:=
y
0
1
:=
Точное решение задачи Коши:
ut()
2t
3
× 1+
3
æ
ç
è
ö
÷
ø
:=
Правая граница интервала:
X
10
:=
Шаг
h
0.2
:=
Введем равномерную сетку x
i
и воспользуемся разностной схемой (21).
Тогда:
N
X x
0
-
(
)
h
:=
N
45
=

Страницы