Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 12 стр.

                                        12

                            mg = kx 0                          (3.1)
     Если груз сместить от положения равновесия вверх или вниз
и отпустить, то он начнет колебаться. Пусть в некоторый момент
времени координата груза равна r х. В этот момент (рис     3.1.в) на
                                                       v
груз действуют упругая сила F и сила тяжести mg . Пружина
                                                r
при этом сжата на величину x − x0 . Сила F направлена вниз и
ее проекция на ось х равна Fx = − k ( x − x0 ) . Запишем второй за-
кон Ньютона в проекциях на ось х
                          ma x = Fx + ( mg ) x
                       d 2x
Учитывая, что a x =       2
                              = &x& , получим
                     dt
                m&x& = − k ( x − x 0 ) − mg = − kx + kx 0 − mg .
Подставляя (3.1), будем иметь
                              m&x& = −kx                           (3.2)

или
                                      k
                              &x& +     x=0                        (3.3)
                                      m
           k
Обозначив    = ω 2 , придем к уравнению (1.5). Следовательно,
           m
закон движения груза на пружине соответствует дифференциаль-
ному уравнению гармонических колебаний, для которых зависи-
мость координаты от времени имеет вид
                        x = A cos( ω t + ϕ )             (3.4)

     Циклическая частота при этом равна
                           k
                     ω=                                (3.5)
                           m
Она зависит от механических свойств колеблющейся системы:
массы груза и коэффициента жесткости k пружины и не зависит
                                                 k
от амплитуды колебаний и времени. Величина ω =      называ-
                                                 m
ется собственной частотой колебательной системы.