Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

13
Решение (3.4) содержит две постоянные амплитуду А и началь-
ную фазу
φ. Эти величины определяются из начальных условий.
В качестве начального момента времени принимается момент
t=0. Предполагается, что в этот момент известны значения коор-
динаты и скорости
0
)0( xx =
0
)0( Vx
=
&
. Подставляя это в
(
)
ϕ
ω
+
=
tAx cos ,
(
)
ϕ
ω
ω
+
−
=
tAx sin
&
,
получим
ϕ
cos)0(
0
Axx
=
=
(3.6)
ϕ
ω
sin)0(
0
AVx
−
=
=
&
(3.7)
Из (3.6) следует
x
0
cos =
ϕ
. Из (3.7) можно получить
ω
ϕ
V
0
sin −=
. Подставляя последние равенства в основное триго-
нометрическое тождество , получим
1cossin
22
=+
ϕϕ
1
2
2
0
22
2
0
=+
A
x
A
V
ω
Откуда можно найти
амплитуду колебаний
2
2
0
2
0
ω
V
xA +=
(3.8)
и начальную фазу
ω
ϕ
0
0
x
V
tg −=
(3.9)
Эти колебания имеют период
k
m
T
π
ω
π
2
2
==
(3.10)
Механическая система может совершать гармонические ко-
лебания не только под действием упругой силы, но также под 
                                   13

Решение (3.4) содержит две постоянные амплитуду А и началь-
ную фазу φ. Эти величины определяются из начальных условий.
В качестве начального момента времени принимается момент
t=0. Предполагается, что в этот момент известны значения коор-
динаты x(0) = x0 и скорости x& (0) = V0 . Подставляя это в
                        x = A cos (ω t + ϕ ) ,
                        x& = − A ω sin (ω t + ϕ ) ,
получим
                        x ( 0 ) = x 0 = A cos ϕ            (3.6)
                        x& (0) = V0 = − Aω sin ϕ           (3.7)
                               x
Из (3.6) следует cos ϕ = 0 .           Из (3.7) можно получить
                                A
         V
sin ϕ = − 0 . Подставляя последние равенства в основное триго-
         Aω
нометрическое тождество sin 2 ϕ + cos 2 ϕ = 1 , получим

                            V 02            x 02
                             2     2
                                        +       2
                                                    =1
                           A ω              A

Откуда можно найти амплитуду колебаний
                                            V02
                         A=      x02    +                  (3.8)
                                            ω2

и начальную фазу
                                        V0
                          tgϕ = −                          (3.9)
                                        x 0ω

Эти колебания имеют период
                                 2π                 m
                         T=             = 2π              (3.10)
                                 ω                  k

     Механическая система может совершать гармонические ко-
лебания не только под действием упругой силы, но также под

Страницы