Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 18 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

18
вращательный момент создает только сила тяжести
m
g
d
M
−
=
(4.2)
Знак «минус» поставлен потому, что при отклонении маят-
ника против часовой стрелки (φ > 0), момент силы вызывает вра-
щение по часовой стрелке (M < 0).
Из рис. 4.2 определим плечо силы тяжести
ϕ
sinld
=
(4.3)
Угловое ускорение
ε
есть вторая производная от угла пово-
рота по времени
ϕ
ε
&&
=
(4.4)
Момент инерции маятника относительно точки 0 рассчиты-
ваем как для материальной точки
2
m
l
=
(4.5)
Подставив последние равенства в (4.1), получим
ϕϕ
&&
2
sin mlmgl =−
или
0sin =+
ϕϕ
l
g
&&
(4.6)
В математическом отношении решение этого уравнения
весьма затруднительно, так как второй член уравнения содержит
синус от искомой функции. Простое решение можно найти лишь
для случая малых колебаний, когда φ << 1рад. ( 1 рад = )
o
3,57
Условие малых колебаний можно записать так:
ϕ
ϕ
ϕ
≈≈ t
g
sin
тогда (4.6) перепишется в виде
0=+
ϕϕ
l
g
&&
(4.7)
Получим линейное дифференциальное уравнение типа (1.5),
где
l
g
=
ω
, (4.8)
а период 
                                18

вращательный момент создает только сила тяжести
                            M = −mgd                      (4.2)
     Знак «минус» поставлен потому, что при отклонении маят-
ника против часовой стрелки (φ > 0), момент силы вызывает вра-
щение по часовой стрелке (M < 0).
  Из рис. 4.2 определим плечо силы тяжести
                             d = l sin ϕ                  (4.3)
     Угловое ускорение ε есть вторая производная от угла пово-
рота по времени
                               ε = ϕ&&                    (4.4)
     Момент инерции маятника относительно точки 0 рассчиты-
ваем как для материальной точки
                            I = ml 2                      (4.5)

    Подставив последние равенства в (4.1), получим
                      − mgl sin ϕ = ml 2ϕ&&
  или
                           g
                      ϕ&& + sin ϕ = 0                        (4.6)
                           l

      В математическом отношении решение этого уравнения
весьма затруднительно, так как второй член уравнения содержит
синус от искомой функции. Простое решение можно найти лишь
для случая малых колебаний, когда φ << 1рад. ( 1 рад = 57,3o )
      Условие малых колебаний можно записать так:
sin ϕ ≈ tgϕ ≈ ϕ тогда (4.6) перепишется в виде
                                  g
                             ϕ&& + ϕ = 0                     (4.7)
                                  l

      Получим линейное дифференциальное уравнение типа (1.5),
где
                                 g
                           ω=      ,                         (4.8)
                                 l
      а период

Страницы