Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 41 стр.

                                  41

  Воспользуемся тригонометрическими соотношениями
            cos(α + β ) = cos α cos β − sin α sin β
                              2            x2
             sin ω t = 1 − cos ωt = 1 −         2
                                                          (6.13)
                                           A

  Тогда
            y
              = cos ω t cos α − sin ω t sin α             (6.14)
            B

   Произведя подстановки равенств (6.11) и (6.13) в уравнение
(6.14), получим:
             y x                 x2
              = cos α − sin α 1 − 2                       (6.15)
             B A                 A

  После математических преобразований можно получить
           x 2 2 xy         y2        2
             2
               −    cos α +   2
                                = sin   α            (6.16)
           A     AB         B

     Последнее уравнение есть уравнение эллипса. Центр этого
эллипса совпадает с началом координат, а оси несколько повер-
нуты относительно осей x и y (рис. 6.6 а). Величины полуосей эл-
липса и их ориентация относительно координатных осей зависят
от амплитуд складываемых колебаний A и B и разности фаз α .
     Рассмотрим некоторые характерные случаи:

    1. Разность фаз складываемых колебаний равна нулю. По-
ложив в уравнении (6.16) α = 0, получим
                        x 2 2 xy y 2
                          2
                            −     + 2 =0
                        A     AB    B
  или
                                   2
                           ⎛ x y⎞
                           ⎜ − ⎟ =0
                           ⎝ A B⎠