Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 52 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

52
LC
1
0
=
ω
и коэффициента затухания
L
R
2
=
β
(8.3)
С учетом этого,
дифференциальное уравнение затухающих
колебаний в электрическом колебательном контуре
имеет вид
(8.4)
02
2
0
=++ qqq
ωβ
&&&
Оно идентично уравнению (7.3) для механических систем.
При небольшом затухании или
2
0
2
ωβ
<
LC
L
R
1
4
2
2
< решение
последнего уравнения запишется
0
qq
=
(
)
ϕω
β
+
−
te
t
cos
(8.5)
где
циклическая частота затухающих электрических коле-
баний
равна
2
2
4
1
L
R
LC
−=
ω
(8.6)
То есть, как и для механических систем, частота затухаю-
щих колебаний ω меньше собственной частоты ω
0
. Наличие со-
противления R в контуре приводит к тому, что при возникнове-
нии колебаний их электрическая энергия, в соответствии с зако-
ном Джоуля - Ленца, тратится на выделение тепла. Вследствие
этого, электрические колебания с течением времени затухают.
График q(t) аналогичен зависимости x(t), изображенной на рис.
7.1,а. При R = 0 формула (8.6) переходит в
LC
1
=
ω
, что соот-
ветствует незатухающим колебаниям.
Закон изменения напряжения на конденсаторе получим раз-
делив выражение (8.5) на величину емкости С 
                               52

                                     1
                            ω0 =
                                     LC
  и коэффициента затухания
                                    R
                             β=                            (8.3)
                                    2L

  С учетом этого, дифференциальное уравнение затухающих
колебаний в электрическом колебательном контуре имеет вид
                      q&& + 2 β q& + ω 02 q = 0      (8.4)

  Оно идентично уравнению (7.3) для механических систем.
                               2    2      R2     1
  При небольшом затухании β < ω 0 или        2
                                               <     решение
                                           4L    LC
последнего уравнения запишется
                       q = q0 e − βt cos(ωt + ϕ )          (8.5)

  где циклическая частота затухающих электрических коле-
баний равна
                               1   R2
                         ω=      − 2                       (8.6)
                              LC 4 L
      То есть, как и для механических систем, частота затухаю-
щих колебаний ω меньше собственной частоты ω0. Наличие со-
противления R в контуре приводит к тому, что при возникнове-
нии колебаний их электрическая энергия, в соответствии с зако-
ном Джоуля - Ленца, тратится на выделение тепла. Вследствие
этого, электрические колебания с течением времени затухают.
График q(t) аналогичен зависимости x(t), изображенной на рис.
                                                 1
7.1,а. При R = 0 формула (8.6) переходит в ω =      , что соот-
                                                 LC
ветствует незатухающим колебаниям.
      Закон изменения напряжения на конденсаторе получим раз-
делив выражение (8.5) на величину емкости С

Страницы