Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 56 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

56
()
dt
di
LiiR
2
32
−=+
(8.19)
Решая уравнение (8.19) относительно i
3
, получим
d
t
di
R
L
ii
2
23
−−=
(8.20)
Из (8.20) следует:
2
2
2
2
3
d
t
id
R
L
dt
di
dt
di
−−=
(8.21)
В результате подстановки выражения (8.20) в (8.18) и с учётом
(8.21) получим уравнение относительно тока i
2
:
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
+=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
dt
di
R
L
i
C
dt
id
R
L
dt
di
dt
di
R
2
2
2
2
2
22
1
После простых алгебраических преобразований это уравнение
приводится к виду
0
11
2
2
2
2
2
=++ i
LCdt
di
RC
d
t
id
(8.22)
Сопоставление уравнения (8.22) с уравнениями для зату-
хающих колебаний (7.3) и (8.4) показывает, что в данном случае
R
C
1
2
1
=
β
,
LC
1
0
=
ω
. Поэтому, в соответствии с (7.7) цикличе-
ская частота затухающих колебаний определится по формуле
22
4
11
CR
LC
−=
ω
(8.23)
Из (8.23) следует, что, в отличие от случая последовательно
включенного сопротивления (рис. 8.1), в случае с его параллель-
ным соединением (рис. 8.2) незатухающие колебания будут
иметь место не при R=0 (см. выводы после формулы (8.6)), а при
R = ∞ (при этом
LC
1
0
==
ωω
). 
                                 56

                                               di 2
                          R (i2 + i3 ) = − L                 (8.19)
                                               dt

  Решая уравнение (8.19) относительно i3, получим
                                     L di2
                        i3 = − i 2 −                         (8.20)
                                     R dt

  Из (8.20) следует:
                        di3    di2 L d 2i2
                            =−    −                          (8.21)
                        dt     dt R dt 2

   В результате подстановки выражения (8.20) в (8.18) и с учётом
(8.21) получим уравнение относительно тока i2:

                 ⎛ di2 di2 L d 2 i2 ⎞ 1 ⎛
                R⎜     −       −         ⎟ = ⎜ i2 + L di2 ⎞⎟
                 ⎜          dt R dt 2 ⎟⎠ C ⎝
                 ⎝ dt                                R dt ⎠
  После простых алгебраических преобразований это уравнение
приводится к виду
                      d 2 i2    1 di2       1
                          2
                             +          +     i2 = 0         (8.22)
                      dt       RC   dt    LC
     Сопоставление уравнения (8.22) с уравнениями для зату-
хающих колебаний (7.3) и (8.4) показывает, что в данном случае
    1 1            1
β=        , ω0 =        . Поэтому, в соответствии с (7.7) цикличе-
    2 RC           LC
ская частота затухающих колебаний определится по формуле
                                 1        1
                        ω=         −                         (8.23)
                                LC 4 R 2 C 2
     Из (8.23) следует, что, в отличие от случая последовательно
включенного сопротивления (рис. 8.1), в случае с его параллель-
ным соединением (рис. 8.2) незатухающие колебания будут
иметь место не при R=0 (см. выводы после формулы (8.6)), а при
                                 1
R = ∞ (при этом ω = ω 0 =            ).
                                 LC

Страницы