Колебания в механических и электрических системах. Колачева Н.М - 58 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

МИРЭА | Москва

Составители: 

Рубрика: 

58
собственная частота колеблющейся системы.
Уравнение (9.4) называется
дифференциальным уравнением
вынужденных колебаний
.
С точки зрения математики уравнение (9.4) является неодно-
родным. Общее решение такого уравнения является суммой об-
щего решения однородного уравнения (7.3) и частного реше-
ния
св
x
в
x
неоднородного уравнения (9.4)
св в
xx x
=
+
(9.5)
где - решение, которое соответствует свободным затухаю-
щим колебаниям и может быть представлено в виде (7.5)
св
x
(
)
0
cos
t
св
xAe t
β
ω
ϕ
−
′
=+
, (9.6)
22
0
βωω
−=
′
- частота свободных затухающих колебаний,
в
x
- частное решение, соответствующее вынужденным колебани-
ям.
Свободные колебания, определяемые решением , до-
вольно быстро затухают. Что касается вынужденных колебаний
св
x
в
x
, то они будут иметь место в течение всего времени действия
возбуждающей силы, и их частота будет совпадать с частотой
возбуждающей силы, поэтому далее индекс у циклической часто-
ты будем опускать, памятуя, что частота ω означает частоту вы-
нужденных колебаний. Не будем останавливаться на свободных
колебаниях, т.к. они играют существенную роль лишь в началь-
ной стадии процесса. Основное внимание уделим вынужденным
установившимся колебаниям.
Для нахождения решения уравнения (9.4) перепишем его с
использованием комплексных чисел (раздел 2) в виде
ti
e
m
F
xxx
ω
ωβ
0
2
0
2 −=++
&&&
(9.7) 
                                   58

собственная частота колеблющейся системы.
  Уравнение (9.4) называется дифференциальным уравнением
вынужденных колебаний.
  С точки зрения математики уравнение (9.4) является неодно-
родным. Общее решение такого уравнения является суммой об-
щего решения xсв однородного уравнения (7.3) и частного реше-
ния xв неоднородного уравнения (9.4)
                             x = xсв + xв                (9.5)

  где xсв - решение, которое соответствует свободным затухаю-
щим колебаниям и может быть представлено в виде (7.5)

                xсв = A0 e − β t cos (ω ′t + ϕ ) ,       (9.6)


  ω ′ = ω02 − β 2 - частота свободных затухающих колебаний,
xв - частное решение, соответствующее вынужденным колебани-
ям.
      Свободные колебания, определяемые решением xсв , до-
вольно быстро затухают. Что касается вынужденных колебаний
xв , то они будут иметь место в течение всего времени действия
возбуждающей силы, и их частота будет совпадать с частотой
возбуждающей силы, поэтому далее индекс у циклической часто-
ты будем опускать, памятуя, что частота ω означает частоту вы-
нужденных колебаний. Не будем останавливаться на свободных
колебаниях, т.к. они играют существенную роль лишь в началь-
ной стадии процесса. Основное внимание уделим вынужденным
установившимся колебаниям.
      Для нахождения решения уравнения (9.4) перепишем его с
использованием комплексных чисел (раздел 2) в виде

                                              F0 iω t
                  &x& + 2 β x& + ω 02 x = −     e        (9.7)
                                              m

Страницы