Составители:
Рубрика:
17
Учение о потенциале возникло в тот день, когда было обнаружено, что все
три выражения (5) суть производных по координатам полюса
P
от одной и той же
функции:
rr
fm
PV
1
)(
= (6)
2.2. Производная функции по направлению
Действительно, имея в виду (1) получим:
()
3222
1111
r
x
r
x
r
x
r
r
r
r
r
ξξ
ξξ
−
=
−
=
∂
∂
=
∂
∂
−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
, то есть
()
xF .
Аналогично для координат
η
и
ζ
, значит:
() () ()
ςηξ
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
=
V
zF
V
yF
V
xF ; ;
(7)
или сокращенно
()
VgradPF
P
= .
Вектор силы, действующий на
P
, есть градиент функции V
3
.
()
VgradMF
M
= (8)
Свяжем проектирование вектора силы на любое направление
S c
дифференцированием
V
по направлению
S
. Допустим, что из
P
проведён
бесконечно малый вектор
ds , образующий с осями углы .,,
γ
β
α
Пусть
ς
η
ξ
ddd ,, проекции вектора на оси, так что
γ
ς
β
η
α
ξ
cos ;cos ;cos =
∂
∂
=
∂
∂
=
∂
∂
SSS
(9)
Будем теперь проектировать
F
r
на направление
→
ds , для чего составим
выражение:
=×+×+×=
γ
β
α
coscoscos FzFyFxFs
учитывая (7)и(9) получим
S
V
dS
dV
dS
dV
dS
dV
∂
∂
=×
∂
∂
+×
∂
∂
+×
∂
∂
=
ς
ς
η
η
ξ
ξ
Имея в виду правило дифференцирования сложных функций многих
переменных
4
, естественно назвать правую часть полученного равенства
производной от
V
по направлению
ds
S
V
∂
∂
.
Учитывая (4) и учитывая проекцию вектора
F на S получим
()
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
=
∂
∂
=
×
=
rS
fm
S
V
r
SPMfm
PFs
1),cos(
2
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 16
- 17
- 18
- 19
- 20
- …
- следующая ›
- последняя »
