Применение пакетов прикладных программ при изучении курсов механики жидкости и газа. Кондранин Т.В - 36 стр.

      При рассмотрении обтекания покоящейся сферы радиуса а,                                       ρ1 u1 = ρ 2 u2 ,                 (2.8)
центр которой находятся в начале сферической системы коорди-                                                 2            2
                                                                                                P1 + ρ1 u1 = P2 + ρ 2 u2 ,          (2.9)
нат, потоком жидкости, имеющим на бесконечности скорость U,
                                                                                                         2            2
необходимо задать следующие граничные условия соответственно                                            u1       u
на поверхности сферы и на бесконечности:
                                                                                                 h1 +      = h2 + 2 .              (2.10)
                                                                                                         2        2
                         r = a, u = v = w = 0 ,                                Эти соотношения необходимо дополнить уравнением со-
                      r = ∞, u → U , v → 0, w → 0 .              (4.4)   стояния, которое в данном случае будем рассматривать в виде
Одним из важных результатов теоретического решения рассматри-            уравнения для идеального газа:
ваемой задачи является формула для силы сопротивления движе-                                             P = ρRT .                 (2.11)
нию сферы в вязкой жидкости, приложенной к сфере со стороны                    Решение системы уравнений (2.8) – (2.10) приводит к сле-
жидкости:                                                                дующему известному под названием адиабата Гюгонио соотно-
                               F = 6πaUμ .                       (4.5)   шению для прямой ударной волны:
Выражение (4.5) получило название формулы Стокса.                                                         γ + 1 V2
                                                                                                               −
      Решение Стокса оказывается практически пригодным при                                          P2    γ − 1 V1
очень малых значениях числа Re. Это следует из того, что при пе-                                       =               .           (2.12)
                                                                                                    P1 γ + 1 V2 − 1
реходе от уравнений (4.1) к уравнениям (4.2) были отброшены                                              γ − 1 V1
инерционные члены (второе слагаемое в левой части уравнения
(4.1) по сравнению с членами, характеризующим силы трения.                     Здесь V ― удельный объем. Соотношение (2.12) можно пе-
Очевидно, что на больших расстояниях от сферы такая оценка яв-           реписать через число M1 набегающего потока и соответственно для
ляется неверной [5].                                                     отношения плотностей «после» и «до» ударной волны:
      В 1910 году немецкий физик Осеен (Oseen C.W. Hydrody-                                         P2    2γ          γ −1
                                                                                                       =       M 12 −      ,       (2.13)
nami — Leipzig: Akad. Verlag, 1927) показал, что гораздо лучшие                                     P1 γ + 1          γ +1
результаты получаются, если в уравнениях движения отбрасывать                                                γ +1 2
не все инерционные члены. Уточненная формула для силы сопро-                                                        M1
                                                                                                     ρ2        2
тивления сферы в приближении Осеена:                                                                     =               .         (2.14)
                                                                                                      ρ1       γ −1 2
                       ⎛ 3        9                 ⎞                                                      1+        M1
            F = 6πaUμ ⎜1 + Re+      Re 2 ln Re+ ... ⎟ , Re << 1. (4.6)                                           2
                       ⎝ 8       40                 ⎠                          Отметим, что представление соотношения параметров на
      Осеен рассматривал задачу об обтекании бесконечного ци-            ударной волне через удельный объем (например, формула (2.12)),
линдра жидкостью, движущейся в поперечном к цилиндру направ-             полезно для анализа так называемых PV-диаграмм; что касается
лении. При этом из основных уравнений (4.2) при замене                   расчетов, то удобнее пользоваться соотношениями, выраженными
u = U + u ′; v = v ′;    w = w′ получаются уравнения:                    через плотность (формула (2.14)).
                                                                               Полезно привести также уравнения сохранения для газа, по-
                                                                         коящегося перед ударной волной:
                                                                                                    ρ1Us = ρ2(Us – U2),            (2.15)
                                                                                             P1 + ρ1Us2 = P2 + ρ2 (Us – U2)2 ,     (2.16)
                                                                                                 h1 + Us2/2 = h2 + (Us – U2)2/2.   (2.17)
                                                                               Для скорости газа за ударной волной имеем выражение

      36                                                                                                                              69