Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 10 стр.

                                                 10
весных макросистем и равновесных статистических ансамблей функция рас-
пределения не зависит явно от времени, а зависит от типа ансамбля.
        Канонический ансамбль – это совокупность огромного числа систем
постоянной температуры, объема и числа частиц; сокращенное обозначение –
{T ,V , N }. Такие системы находятся в тепловом равновесии с окружающей сре-
дой (термостатом).
        Для такого ансамбля функция распределения имеет вид:
                                                           H ( p ,q )
                                                       −
                          ρ( p , q ) =A ⋅ e Θ ,                     (5.1)
где А – коэффициент нормировки; H ( p , q ) – функция Гамильтона; Θ – пара-
метр, имеющий размерность энергии, который называется статистической тем-
пературой. Задание Θ равносильно заданию абсолютной температуры Т. Мож-
но доказать, что Θ =kT , где k =1,38 ⋅10−23 Дж/К – постоянная Больцмана.
Функция (5.1) представляет каноническое распределение Гиббса. Согласно
этому распределению плотность вероятностей в фазовом пространстве – экспо-
ненциально убывающая функция H ( p , q ) .


                                ЗАДАЧИ
5.1. Покажите, что при каноническом распределении Гиббса нормированная
функция статистического распределения может быть представлена в виде:
                                                       H ( p ,q )
                                                   −
                                                          Θ
                                             e
                         ρ( p , q ) =            H ( p ,q )
                                                                        .
                                             −
                                        ∫e
                                        Γ
                                                    Θ
                                                              d p dq

5.2*. Покажите, что равенство статистических температур Θ1 и Θ2 двух систем
является условием их термодинамического равновесия.

5.3*. Покажите, что каноническое распределение Гиббса для систем с очень
большим числом частиц ( N → ∞) переходит в микроканоническое, т.е. что за-
крытая система, находящаяся в тепловом равновесии с термостатом, обладает
практически постоянной внутренней энергией. Для решения задачи восполь-
зуйтесь известным свойством канонического распределения:
                           � ∂L�    1
                            � ∂Θ� = 2 (L −L )(H −H ),
                             � � X Θ
где L =L ( p , q, X ) – любая физическая величина; Х – характеристика внешних
воздействий на систему, при изменении которых совершается работа (напри-
мер, индукции электрических и магнитных полей).
5.4. Получите из канонического распределения Гиббса распределение Максвел-
ла-Больцмана.
5.5. Получите из распределения Максвелла-Больцмана барометрическую фор-
мулу Лапласа.