Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 11 стр.

                                                          11
5.6. На какой высоте в поле тяжести Земли при 0°C давление воздуха умень-
шится втрое?




           §6. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ МАКСВЕЛЛА-БОЛЬЦМАНА
      Каноническое распределение Гиббса (5.1) в приложении к идеальному га-
зу, молекулы которого движутся в силовом поле U =U ( x , y, z ) , переходит в
распределение Максвелла-Больцмана (см. задачу (5.4.)). Вследствие «невзаимо-
действия» молекул их рассматривают как независимые системы, считая весь
идеальный газ ансамблем частиц. Для отдельно взятой молекулы вводят функ-
цию статистического распределения ρi ( p i , qi ) . При таком подходе системой
оказывается произвольно выбранная молекула, а все остальные частицы – ее
термостатом.
      Для идеального газа функция Гамильтона есть
                                                     N
                                H ( p , q ) =∑ H i ( p i , qi ).
                                                  i =1
Согласно каноническому распределению
                                                                  H ( p ,q )
                                                                 − i i i
                          ρi ( p i , qi ) =Ai ⋅ e                    kT
                                                                                ,
или, опуская далее ненужный индекс i,
                                              −
                                                (p   2    2    2
                                                     x +p y +p z    ) 2 m +U ( x , y ,z )
                           ρ( p , q ) =A e                          kT
                                                                                            ;
в ином варианте записи
                                       −
                                        (p   2    2    2
                                             x +p y +p z     ) 2 m +U ( x ,y ,z )
       dW ( p x , p y , p z , x , y, z ) =A e kT
                                                 ⋅ d p x d p y d p z dx dydz. (6.1)
Получили распределение Максвелла-Больцмана, описывающее поведение
классического идеального газа.
     Поскольку кинетическая энергия ( p x2 +p y2 +p z2 ) 2 m и потенциальная
энергия U =U ( x , y, z ) зависят от разных переменных, можно рассмотреть два
независимых распределения в трехмерном пространстве импульсов и в трех-
мерном пространстве координат:
                                                      p x2 +p y2 +p z2
                                                     −
                 dW ( p x , p y , p z ) =A e              2 mkT
                                                                           ⋅d p x d p yd p z
(распределение Максвелла по импульсам),
                                                          U ( x , y ,z )
                                                         −
                       dW ( x , y, z ) =Be  ⋅ dx dydz         kT

(распределение Больцмана по координатам в потенциальном поле).
      Если система обладает дискретными уровнями энергии, то вероятность
того, что она находится в i-ом энергетическом состоянии и имеет энергию Ei ,
равна