Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

9
Найдите нормировочную постоянную функции распределения A, средние зна-
чения
x
и
2
x
, дисперсию случайной величины
2
x
∆
.
4.2. Непрерывная случайная величина x имеет экспоненциальное распределе-
ние:
x
fxAx
α
α
−
=⋅≤<∞>
Найдите коэффициент нормировки A и среднее значение
x
. Как будет изме-
няться вероятность найти величину x в интервале от x до
xdx
+
?
4.3. Непрерывная случайная величина х подчиняется гауссовому (нормальному)
закону распределения:
2
()e,,0.
x
fxAx
α
α
−
=⋅−∞<<+∞>
Найдите нормировочную постоянную А, среднее значение
x
и дисперсию
2
x
∆
.
Запишите гауссов закон распределения с учетом найденных А и
2
x
∆
.
4.4. Точка равномерно движется по окружности. Найдите функцию распределе-
ния по углам
()
f
ϕ
.
4.5. Вероятность того , что для некоторой системы значения переменных x и у
лежат в интервале
[
]
;
xxdx
+ и
[
]
;
yydy
+ , дается выражением :
22
()
(,)e,0.
xy
dPxyAdxdy
α
α
−+
=⋅>
Считая, что областями изменения х и у является вся числовая ось , найдите нор-
мировочную постоянную А.
4.6. Для функции распределения предыдущей задачи найдите вероятность того ,
что значение х будет лежать в интервале
[
]
;
xxdx
+ .
4.7. Математический маятник совершает гармонические колебания по закону
(
)
2
0
cos,
T
t
π
ϕϕ=
где Т – период колебания маятника. Найдите вероятность того , что при случай-
ной регистрации отклонения
ϕ
это значение будет лежать в интервале
[
]
;
d
ϕϕϕ
+ .
4.8. Найдите функцию распределения
()
f
ϕ
для гармонического колебания пре-
дыдущей задачи . Начертите график зависимости
()
ff
ϕ
=
.
§5. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
Если функция статистического распределения
(,)
q
ρ
p
задана (см . §3), то
этим полностью задается и макроскопическое состояние системы. Для равно-
                                          9
Найдите нормировочную постоянную функции распределения A, средние зна-
чения x и x 2 , дисперсию случайной величины ∆x 2 .

4.2. Непрерывная случайная величина x имеет экспоненциальное распределе-
ние:
                     f ( x ) =A ⋅ e −α x , 0 ≤x <∞, α >0.
Найдите коэффициент нормировки A и среднее значение x . Как будет изме-
няться вероятность найти величину x в интервале от x до x +dx ?

4.3. Непрерывная случайная величина х подчиняется гауссовому (нормальному)
закону распределения:
                                 2
                    f ( x ) =A ⋅ e −α x , −∞0.
Найдите нормировочную постоянную А, среднее значение x и дисперсию ∆x 2 .
Запишите гауссов закон распределения с учетом найденных А и ∆x 2 .
4.4. Точка равномерно движется по окружности. Найдите функцию распределе-
ния по углам f (ϕ ) .
4.5. Вероятность того, что для некоторой системы значения переменных x и у
лежат в интервале [x ; x +dx ] и [ y ; y +dy ], дается выражением:
                    dP ( x , y ) =A ⋅ e −α ( x +y ) dx dy, α >0.
                                      2       2



Считая, что областями изменения х и у является вся числовая ось, найдите нор-
мировочную постоянную А.

4.6. Для функции распределения предыдущей задачи найдите вероятность того,
что значение х будет лежать в интервале [x ; x +dx ] .

4.7. Математический маятник совершает гармонические колебания по закону
                             ϕ =ϕ0 cos ( 2Tπ t ),
где Т – период колебания маятника. Найдите вероятность того, что при случай-
ной регистрации отклонения ϕ это значение будет лежать в интервале
[ϕ ; ϕ +dϕ ].
4.8. Найдите функцию распределения f (ϕ ) для гармонического колебания пре-
дыдущей задачи. Начертите график зависимости f = f (ϕ ) .




          §5. КАНОНИЧЕСКОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ГИББСА
     Если функция статистического распределения ρ( p , q ) задана (см. §3), то
этим полностью задается и макроскопическое состояние системы. Для равно-

Страницы