Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 7 стр.

                                      7
ниями. Поэтому статистическому ансамблю в данный момент времени в фазо-
вом пространстве будет соответствовать облако точек: каждая точка отвечает
одному элементу ансамбля. Если выделить внутри фазового пространства ма-
лый объем d Γ =d p dp , то число элементов ансамбля, координаты и импульсы
которых лежат в интервале от q до q +dq и от p до p +d p , равно числу то-
чек, попавших в этот объем. Тогда вероятность реализации соответствующих
микросостояний будет пропорциональна объему dΓ :
                             dW ( p , q ) =ρ( p , q )d Γ;
ρ( p , q ) – функция, определяемая густотой фазовых точек в выбранном месте
фазового пространства. Эта функция называется функцией статистического
распределения данной макроскопической системы. Условие нормировки
функции:

                              Γ
                                ∫ρ( p , q )d Γ =1.
Знание явного вида ρ( p , q ) позволяет рассчитать любые средние свойства мак-
росистемы.
       Если статистический ансамбль соответствует равновесной системе, мак-
росостояние которой неизменно во времени, то функция ρ( p , q ) тоже не будет
зависеть от времени:
                                � ∂ρ( p , q� )
                                 �                 =0.                 (3.1)
                                   �   ∂t �� p ,q
Частная производная (3.1) вычисляется в точке с определенными координатами
p и q. Условие (3.1) представляет собой условие статистического равновесия
ансамбля.
       При выполнении условия (3.1), когда все фазовые точки, вне зависимости
от t, распределены согласно одной и той же функции распределения, эта функ-
ция остается постоянной вдоль фазовой траектории:
                                     d ρ( p , q )
                                                  =0.                  (3.2)
                                        dt
Производная (3.2) – это полная производная по времени, взятая при непрерыв-
но изменяющихся величинах p и q. Условие (3.2) есть теорема Лиувилля, оп-
ределяющая одно из важных свойств фазового пространства.
       Если в фазовом пространстве выделить некоторый объем ∆Γ , заключаю-
щий некоторое число фазовых точек, то со временем эти точки займут новые
положения. По теореме Лиувилля этим точкам будет отвечать объем ∆Γ ' , рав-
ный прежней величине ∆Γ . Это заключение обычно считают второй формули-
ровкой теоремы Лиувилля: произвольный фазовый объем, занятый определен-
ным числом фазовых точек, при своем движении остается постоянным по вели-
чине, хотя форма объема может изменяться.
       Сказанное совсем не означает, что функция ρ( p , q ) постоянна во всем
фазовом пространстве. Из (3.1), в частности, следует, что при статистическом