Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 31 стр.

                                             31
2.9. Р е ш е н и е . Запишем уравнения фазовой траектории для гармонического
осциллятора в параметрической форме (время t – параметр):
       �� q =q0 sin ωt , где ω = k m ,
         �
           � p =mv =mq =mωq0 cos ωt =p 0 cos ωt .
Исключая параметр t, получим:
            p 2 q2
                + =1.
            p 02 q02
Это – уравнение эллипса с полуосями q0 и p 0 .
2.10. Р е ш е н и е . По закону сохранения энергии T +U ( r ) =U ( r0 ) , причем
T =p 2 2 m и U ( r ) =−e0 r . Отсюда уравнение фазовой траектории:
                    � 1 1�               1 1
      p 2 =2 me02 �    −� , или p =e0 2 m − .
                   � r0 r�               r0 r


3.2. У к а з а н и е . Воспользуйтесь уравнением фазовой траектории в парамет-
рической форме:
       p (t ) =mgt +∆p ,
               gt 2 ∆p
      q (t ) =       + t +∆q,
                2         m
где ∆p и ∆q – начальные значения импульса и координаты.
3.4. Да. Р е ш е н и е . После столкновения шаров значения импульсов будут рав-
ны:
              m −m2                  2 m1
       p1/ = 1            p1 +              p2,
              m1 +m2                m1 +m2
                m −m2                  2 m2
       p 2/ =− 1             p2 +            p 1.
                m1 +m2               m1 +m2
Исходное значение элемента фазового объема d Γ =d p1d p 2 dq1dq2 заменяется на
элемент d Γ ' =d p 1/ d p 2/ dq1/ dq2/ в других координатах (со штрихами). Если модуль
якобиана преобразования I равен единице, теорема Лиувилля справедлива.
Якобиан преобразования:

       I=
             (                )
            D q1/ , q2/ , p1/ , p 2/
                                     .
             D (q1, q2 , p1, p 2 )
Поскольку ∂p i/ ∂q j =0 и ∂qi/ ∂q j =δij ,

     I=
             (
          D p1/ , p 2/   ) = ∂p
                            ∂p1 ∂p1/ ∂p 2
                                  1
                                   /
                                          =−1.
         D ( p1, p 2 ) ∂p ∂p1 ∂p 2/ ∂p 2
                                  2
                                   /


Следовательно, d Γ =d Γ ' .