Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

33
Таким образом, равенство статистических температур в статистике эквивалент-
но равенству температур в классической термодинамике.
5.3. Пусть
LH
=
, тогда (считаем
kT
Θ=
):
22
(),
H
HHkT
∂
−=
∂
или
22
,
E
EkT
T
∂
∆=
∂
где
EH
=
имеет смысл внутренней энергии системы. Запишем отношение
2
E
∆
к
2
E
и преобразуем его :
22
2
2222
1
~.
V
C
EkTEN
kT
EETENN
∆∂
=⋅=⋅=
∂
Итак, при
N
→∞
относительная флуктуация энергии Е в изотермической сис-
теме стремится к нулю. Условие
const
E
=
при постоянстве объема V и числа
частиц N соответствует микроканоническому ансамблю.
5.4.
(
)
222
2(,,)
e.
xyz
mUxyz
kT
xyz
dWAddddxdydz
+++
−
=⋅
ppp
ppp Указание . Учтите, что в
идеальном газе функция Гамильтона равна сумме полных энергий невзаимо-
действующих частиц :
1
(,).
N
i
i
Hq
=
=
∑
E
p
5.5.
0
()e.
mgh
kT
PhP
−
= 5.6. 8600 м .
6.1.
3/2
1/(2).
AmkTπ=
6.2.
222
3/2
()
2
(,,)e.
2
xyz
mvvv
kT
xyzxyz
m
dWvvvdvdvdv
kTπ
++
−

=⋅


6.3.
(
)
1/2
2
x
vkTmπ= . Усреднение сделано по положительному направлению
x
v
.
Указание . Для вычисления
x
v
воспользуйтесь определением среднего :
2
1/2
/2
0
e.
2
x
mvkT
xxx
m
vvdv
kTπ
∞
−

=⋅


∫
6.4.
2
3/2
/22
()4e.
2
mvkT
m
dWvvdv
kT
π
π
−

=⋅


Указание . Задачу решают в сфе-
рической системе координат. Согласно закону распределения Максвелла по со -
ставляющим скорости v
x
, v
y
и v
z
(см . задачу 6.2):
(,,)(,,),
xyzxyz
dWvvvfvvvdv
=⋅
причем
2
3/2
/2
(,,)e,
2
mvkT
xyz
m
fvvvdv
kTπ
−

=⋅


2
sin.
dvvdvdd
θθϕ
= Для нахожде-
ния
()
dWv
первое выражение интегрируют по Θ и по φ.
6.5.
*1/2
(2/)
vkTm= , т .е.
*1/2
~
vT
и
*1/2
~;
vm
−
*
2
(N)415 м /с.
v =
6.6
1/2*1/2**
2(2/)2/1,13.
vkTmvvv
ππ
=⋅=≈>
Указание . Воспользуйтесь оп-
ределением
v
и учтите значение обобщенного интеграла Пуассона: 
                                                                           33
Таким образом, равенство статистических температур в статистике эквивалент-
но равенству температур в классической термодинамике.
5.3. Пусть L =H , тогда (считаем Θ =kT ):
                      ∂H                               ∂E
      ( H −H )2 =kT 2    ,        или       ∆E 2 =kT 2    ,
                      ∂T                               ∂T
где E =H имеет смысл внутренней энергии системы. Запишем отношение
∆E 2 к E 2 и преобразуем его:
       ∆E 2 kT 2 ∂E           C   N    1
            = 2 ⋅     =kT 2 ⋅ V2 ~ 2 = .
        E 2
              E   ∂T          E   N   N
Итак, при N → ∞ относительная флуктуация энергии Е в изотермической сис-
теме стремится к нулю. Условие E =const при постоянстве объема V и числа
частиц N соответствует микроканоническому ансамблю.
                 −
                  (p   2    2    2
                       x +p y +p z    ) 2 m +U ( x ,y ,z )
5.4. dW =A e       kT
                           ⋅ d p x d p y d p z dx dydz. У к а з а н и е . Учтите, что в
идеальном газе функция Гамильтона равна сумме полных энергий невзаимо-
                                                                N
действующих частиц: H ( p , q ) =∑ Ei .
                                                                i =1
                      mgh
                     −
5.5. P ( h ) =P0 e     kT
                            .                                          5.6. 8600 м.


                                                                                      3/2   m ( v2 +v2 +v2 )
                                                 � m �         −
                                                                 x    y z

6.1. A =1/(2π mkT ) . 6.2. dW ( vx , vy , vz ) =�
                                3/2
                                                          � ⋅e    2 kT
                                                                          dvx dvy dvz .
                                                  � 2π kT�
6.3. vx =(kT 2π m ) . Усреднение сделано по положительному направлению vx .
                   1/ 2



У к а з а н и е . Для вычисления vx воспользуйтесь определением среднего:
                            1/ 2      ∞
            � m �
                                   ⋅ ∫vx e −mvx / 2 kT dvx .
                                                      2
       vx =�         �
             � 2π kT�                  0
                                             3/2
                        � m �                   2
6.4. dW ( v ) =4π �           �        ⋅ e −mv / 2 kT v2 dv. У к а з а н и е . Задачу решают в сфе-
                     � 2π kT�
рической системе координат. Согласно закону распределения Максвелла по со-
ставляющим скорости vx, vy и vz (см. задачу 6.2):
      dW ( vx , vy , vz ) = f ( vx , vy , vz ) ⋅ dv,
                                                          3/2
                            � m �                 2
причем f ( vx , vy , vz ) =�         �     ⋅ e −mv / 2 kT dv, dv =v2 dv sin θdθdϕ. Для нахожде-
                             � 2π kT�
ния dW ( v ) первое выражение интегрируют по Θ и по φ.
6.5. v* =(2 kT / m )1/ 2 , т.е. v* ~ T 1/ 2 и v* ~ m −1/ 2 ; v* (N 2 ) =415 м/с.
6.6 v =2 ⋅ (2 kT / π m )1/ 2 =2v* / π 1/ 2 ≈1,13v* >v* . У к а з а н и е . Воспользуйтесь оп-
ределением v и учтите значение обобщенного интеграла Пуассона:

Страницы