Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

34
2
32
0
e12,0.
x
xdx
α
αα
∞
−
=>
∫
6.7.
2
3/
vkTm
=
;
()
1/2
21/2**
3
2
(3/)1,22.
==⋅≈>
Указание . По-
скольку
2222
xyz
vvvv
=++
, то достаточно вычислить
2
x
v
:
22
()/.
xxxx
vvfvdvkTm
+∞
−∞
=⋅=
∫
Обобщенный интеграл Пуассона:
2
2
3
1
e,0.
2
x
xdx
α
π
α
α
+∞
−
−∞
=>
∫
6.8.
1/2
1/23/2
2
()e,
()
kT
dWd
kTπ
−
=⋅
E
EEE
/1/2
1/23/2
2
()()e.
()
EkT
fdWd
kTπ
−
==⋅
EEEE
6.9.
*
/
kTm
=
E
, причем
**2
()/2
mv≠E .
6.10.
3
2
kT
=E ; на одну степень свободы поступательного движения приходится
в среднем энергия
1
2
kT
. Указание . Исходное выражение:
0
(),
fd
∞
=⋅
∫
E=EEE
причем получившийся интеграл вычисляется на основе:
1
2
1
2
1/2
0
135(21)
e,
2
p
x
p
p
p
xdx
α
π
α
∞
−
−
+
⋅⋅⋅⋅−
⋅=⋅
∫
K
0,1,2,3.
p
α
>=
K
Заметим, что такое же выражение получится из формулы
среднего значения квадрата модуля скорости (см . задачу 6.7):
2
3
.
22
mv
kT
==E
6.11. 0,303. Указание . Воспользуйтесь распределением Больцмана (6.4).
6.12. 627 К. 6.13. а)
0
=
E
; б)
34
=
EE
. 6.14.
19
9,4410 Дж
эл
−
=⋅E
.
6.15.
012
0,ln3,ln5.
kTkT
===
EEE 6.16. v
*
= 337 м/с.
6.17.
v
= 1200 м/с. 6.18.
v
= 1600 м /с. 6.19. 0,467. Не зависит. 6.20. 1.
6.21. 0,83%. Указание . Относительное число молекул равно вероятности
обнаружения скорости в пределах от v
*
до v
*
±0,05 v
*
.
6.22.
0
0
1e
mgh
kT
PS
m
g
−

=−


, m
0
– масса молекулы.
6.23. Преодоление поля Земли возможно, если
2
2
2
mv
≥E , где v
2
=11,2 км/с – вто-
рая космическая скорость. Используем закон распределения Максвелла по
энергии:
/1/2
()e.
kT
fA
−
=
E
EE
                                                 34
       ∞

       ∫x e dx =1 2α , α >0.
                2
         3 −α x     2

       0

                             v2 =(3kT / m )1/ 2 =( 23 ) ⋅ v* ≈1,22v* >v. У к а з а н и е . По-
                                                      1/ 2
6.7. v2 =3kT / m ;
скольку         v2 =vx2 +vy2 +vz2 ,         то          достаточно      вычислить         vx2 :
     +∞
vx2 = ∫vx2 ⋅ f ( vx )dvx =kT / m . Обобщенный интеграл Пуассона:
     −∞
       +∞
                           1 π
          ∫
              2 −α x 2
            x  e       dx =        , α >0.
         −∞
                           2 α3
                           2
6.8. dW ( E ) = 1/ 2                e −E kT ⋅ E1/ 2 d E,
                       π ( kT )3/2


                                 2
 f ( E ) =dW ( E ) d E = 1/ 2               e −E / kT ⋅ E1/ 2 .
                            π ( kT )    3/2


6.9. E* =kT / m , причем E* ≠m ( v* )2 /2 .
6.10. E =23 kT ; на одну степень свободы поступательного движения приходится
в среднем энергия 21 kT . У к а з а н и е . Исходное выражение:
            ∞
       E==∫E ⋅ f ( E )d E,
            0
причем получившийся интеграл вычисляется на основе:
       ∞
            p−12              1 ⋅ 3 ⋅5 ⋅ ⋅ (2 p −1) π 1/ 2
       ∫0 x ⋅ e dx =
                    −α x
                                                    ⋅ p+1 ,
                                        2p           α 2
α >0, p =1, 2, 3 . Заметим, что такое же выражение получится из формулы
среднего значения квадрата модуля скорости (см. задачу 6.7):
              mv2 3
       E=            = kT .
                 2       2
6.11. 0,303. У к а з а н и е . Воспользуйтесь распределением Больцмана (6.4).
6.12. 627 К.              6.13. а) E =0 ; б) E =3E 4 .          6.14. Eэл =9,44 ⋅10 −19 Дж .
6.15. E0 =0, E1 =kT ln 3, E2 =kT ln 5.                      6.16. v* = 337 м/с.
6.17. v = 1200 м/с. 6.18. v = 1600 м/с. 6.19. 0,467. Не зависит. 6.20. 1.
6.21. 0,83%. У к а з а н и е . Относительное число молекул равно вероятности
обнаружения скорости в пределах от v* до v*±0,05 v*.
             PS �          − 0 �
                            m gh
6.22. m = 0 � 1 −e kT � , m0 – масса молекулы.
                g �              �
                                                                   2
6.23. Преодоление поля Земли возможно, если E ≥mv2 2 , где v2 =11,2 км/с – вто-
рая космическая скорость. Используем закон распределения Максвелла по
энергии:
        f ( E ) =A e −E / kT E1/ 2 .

Страницы