Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 35 стр.

                                                     35
Поскольку E2 =mv22 / 2 � kT , удобно перейти к асимптотическому распределе-
нию f ( E ) :
      f ( E ) ≈A 'e −E / kT ;
легко найти, что A ' =1/ kT . Вероятность преодоления поля Земли:
                                 ∞
                               1
      W ( E ≥mv2 / 2) =          ∫  e −E / kT d E =e −805 .
                  2

                              kT E2
              4
                  π r3 ( ρ −ρH 2O ) gh
         k=                              =1,07 ⋅10−23 Дж/К,                      N A =R / k =7,8·1023
              3
6.24.                                                            а значит,
                  T ln α
1/моль. У к а з а н и е . Используйте распределение Больцмана с учетом закона
Архимеда.
                     1/ 2
         N � kT �
6.25. n = �               . У к а з а н и е . Исходите из решения задачи 6.2: концен-
         V � 2π m��
трация молекул со скоростями вдоль оси х в интервале от vx до vx +dvx равна
                            1/ 2
           N� m �          −mv2x / 2 kT      � 1�
dC ( vx ) = �          � e              dvx � � 3 .
           V � 2π kT �                        � м�
6.26. P =VN kT . У к а з а н и е . Исходите из второго закона Ньютона в форме
Fx dt =mdvx . При упругом ударе молекулы о стенку ей передается импульс
2 mvx .


7.1. Молекулярная сумма по состояниям: z =1 +3 ⋅ e −E / kT . У к а з а н и е . Исполь-
зуйте вместо интеграла (7.1) обычное суммирование величин e −Ei / kT с учетом
статистического веса энергетических уровней (т.е. кратности вырождения). Ес-
ли молекулы образуют идеальный газ, то для такого газа, состоящего из N оди-
наковых частиц,
                      zN
      Z (T ,V , N ) = ;
                      N!
делитель N ! учитывает принцип тождественности частиц. Переходя к ln Z и
используя формулу (7.7), получим:
                          E
      U =U 0 +N A                   .
                     1 +13 e E / kT
7.2. pV =NkT , или pV =NNA R T . Данная система – идеальный газ. У к а з а -
н и е . Воспользуйтесь формулой (7.4) для давления p.
                                              N
7.3. Р е ш е н и е . Поскольку H =∑ Ei , то
                                              i =1
                                                          N                  N
        Z =∫e −H / kT d p dq =∫e ∑ i d p dq =∏ e −Ei / kT d p i dqi =∏ zi =ziN ,
                                − E / kT

            Γ                      Γ                      i =1               i =1

где zi – интеграл по состояниям отдельной молекулы.