Сборник вопросов и задач по статистической термодинамике. Кондрашин В.Ю. - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ВГУ | Воронеж

Составители: 

Рубрика: 

32
4.1.
1()
Aba
=−
,
()2
xab
=+ ,
222
()3
=++ ,
22
()12
xab∆=− . Ука-
зание . Для нахождения
2
x
∆
воспользуйтесь определением дисперсии:
22
()().
b
a
xxxfxdx
∆=−
∫
4.2.
,1,()e.
x
AxdPxdx
α
ααα
−
===
4.3.
22
2(2)
/,0,1/2,()e
xx
Axxfx
α
απα
π
−∆
==∆==⋅
. Указание . Для
нахождения А воспользуйтесь значением простого интеграла Пуассона:
2
e.
x
dx
π
+∞
−
−∞
=
∫
Для нахождения
2
x
∆
можно воспользоваться одним из обобщенных интегралов
Пуассона:
2
2
3
1
e,0.
2
x
xdx
α
π
α
α
+∞
−
−∞
=>
∫
4.4.
()1/2
f
ϕπ
=
. Указание . Воспользуйтесь решением задачи 4.1.
4.5.
=
/
A
απ
. 4.6.
2
()e
x
dPxdx
α
α
π
−
= .
4.7.
(
)
22
0
().
dPd
ϕϕπϕϕ
=−
Указание . Воспользуйтесь тем , что
()2/.
dPdtT
ϕ =
4.8.
(
)
22
0
()1.
f
ϕπϕϕ
=−
5.1. Указание . Воспользуйтесь условием нормировки функции
(,)
q
ρ
p
.
5.2. Решение . Пусть имеется два канонических ансамбля, находящихся в те-
пловом равновесии с термостатом. Со статистической точки зрения они обра-
зуют новый канонический ансамбль только в том случае, если показатель экс-
поненты
(
)
(,)/
FHq
−Θ
p всей системы равен сумме показателей отдельных
систем , т .е. представляет собой разность сумм
12
()
FF
+
и
12
()
HH
+
, деленную
на новую статистическую температуру Θ:
1122
1212
12
()()
eee.
FHFH
FFHH
−−
+−+
ΘΘ
Θ
⋅=
Последнее равенство возможно только при условии
12
Θ=Θ=Θ
. Оно записано
на основе свойства мультипликативности функции
(,)
q
ρ
p
. Параметр
(,)
FFq
≠
p
обозначает коэффициент нормировки А, представленный в виде
/
e
F
A
Θ
=
. 
                                                                   32


4.1. A =1 ( b −a ) , x =( a +b ) 2 , x 2 =( a2 +b2 +ab ) 3 , ∆x 2 =( a −b )2 12 . У к а -
з а н и е . Для нахождения ∆x 2 воспользуйтесь определением дисперсии:
                   b
       ∆x =∫( x −x )2 f ( x )dx .
            2

                   a

4.2. A =α , x =1 α , dP ( x ) =α e −α x dx .
                                           α −x 2 (2 ∆x 2 )
4.3. A = α / π , x =0, ∆x 2 =1/2α ,          ⋅e                   f (x ) =
                                                            . У к а з а н и е . Для
                                           π
нахождения А воспользуйтесь значением простого интеграла Пуассона:
       +∞

       ∫e
            −x 2
                   dx = π .
       −∞

Для нахождения ∆x 2 можно воспользоваться одним из обобщенных интегралов
Пуассона:
       +∞
                         1 π
        ∫
                    2
          x 2 e −α x dx =       , α >0.
       −∞
                         2  α 3


4.4. f (ϕ ) =1/ 2π . У к а з а н и е . Воспользуйтесь решением задачи 4.1.
                                                                                 2
4.5. A =α / π .                                        4.6. dP ( x ) =   α
                                                                         π   e −α x dx .
4.7.   dP (ϕ ) =dϕ π ϕ02 −ϕ 2 .  (                      )      Указание.             Воспользуйтесь   тем,   что
dP (ϕ ) =2 dt /T .

                       (
4.8. f (ϕ ) =1 π ϕ02 −ϕ2 .                  )
5.1. У к а з а н и е . Воспользуйтесь условием нормировки функции ρ( p , q ) .
5.2. Р е ш е н и е . Пусть имеется два канонических ансамбля, находящихся в те-
пловом равновесии с термостатом. Со статистической точки зрения они обра-
зуют новый канонический ансамбль только в том случае, если показатель экс-
поненты (F −H ( p , q ) ) / Θ всей системы равен сумме показателей отдельных
систем, т.е. представляет собой разность сумм ( F1 +F2 ) и ( H 1 +H 2 ) , деленную
на новую статистическую температуру Θ:
        F1 −H 1        F2 −H 2       ( F1 +F2 ) −( H1 +H 2 )
          Θ1             Θ2
      e       ⋅e    =e     Θ
                                .
Последнее равенство возможно только при условии Θ1 =Θ2 =Θ . Оно записано
на основе свойства мультипликативности функции ρ( p , q ) . Параметр
F ≠F ( p , q ) обозначает коэффициент нормировки А, представленный в виде
A =e F / Θ .

Страницы