Линейная алгебра. Конев В.В. - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Матрицы
4. Транспонирование суммы матриц эквивалентно транспонированию
каждой матрицы суммы:
TTT
BABA +=+ )(.
Вышеприведенные свойства вполне очевидны. Их доказательство
предоставляется читателю.
Свойства, связанные с умножением
Предположим, что размерности матриц таковы, что
соответствующие произведения определены, и пусть
λ
и
µ
–
произвольные числа. Тогда
1.
A
A
)()(
µ
λ
µ
λ
= .
2.
)()()(
B
A
B
A
A
B
λ
λ
λ
=
=
.
3.
(AB)C = A(BC).
4.
TTT
ABAB =)(.
5.
Произведение диагональных матриц одного и того же порядка
коммутативно:
B
A
A
B =
.
Свойства 1) и 2) основываются на определении операции умножения
матрицы на скаляр.
Для доказательства свойства 3 достаточно доказать попарное
равенство соответствующих матричных элементов матриц
C
A
B)(
и
)(
B
C
A
.
По определению, i,j-тый элемент произведения матрицы
A
B
на матрицу C
равен
=
k
jkkiji
cABCAB
,,,
)())(( .
Учитывая, что
∑
=
l
klliki
baAB
,,,
)(,
получаем
=
k
jk
l
klliji
cbaCAB
,,,,
))(( .
Изменим теперь порядок суммирования:
.))(()(
))((
,,,
,,,,
ji
l
jlli
l
jk
k
klliji
BCABCa
cbaCAB
==
=
∑
В виду произвольности номеров i и j, соответствующие матричные
элементы попарно равны, что означает равенство матриц:
)()(
B
C
A
C
A
B
=
.
15

Страницы