Линейная алгебра. Конев В.В. - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Матрицы
Для доказательства свойства 4 воспользуемся равенствами
ij
ji
T
ABAB
,
,
)()( = , и .
ijij
ji
T
aAA
,,
,
≡=
ijij
ji
T
bBB
,,
,
≡=
Тогда
.)(
)()(
,
,,,,
,,,
,
ji
TT
k
jk
T
ki
T
k
ki
T
jk
T
k
ikkjij
ji
T
ABABBA
baABAB
===
==
∑∑
∑
Таким образом, произвольный элемент матрицы
совпадает с
соответствующим элементом матрицы )
и, следовательно, матрицы
равны:
T
AB)(
(
TT
AB
TTT
ABAB =)(.
Доказательство свойства 5 основывается на следующих доводах:
1) Диагональные матрицы являются симметричными, т.е.
.
ji
ji
T
AA
,
,
=
2) Произведение диагональных матриц есть диагональная матрица.
Поэтому достаточно доказать попарное равенство диагональных
элементов:
iiik
k
ki
k
kiik
k
ikkiii
BAabbabaAB
,,,,,,,,
)()(
=
=
=
=
∑
∑
∑
.
Тем самым, равенство матриц доказано.
Свойства, связанные со сложением и умножением
Пусть размерности матриц таковы, что соответствующие операции
сложения и умножения определены, и пусть
λ
– произвольное число.
Тогда
1.
A
C
A
BC
B
A
+=+ )(
2.
B
C
A
CC
B
A
+=+ )(
3.
A
A
λ
λ
λ
+=+ )(
Для доказательства свойства 1 рассмотрим элемент, стоящий в i-ой
строке и j-ом столбце матрицы
)( C
B
A
+
.
jijiji
k
jkki
k
jkki
k
jkjkki
k
jkkiji
ACABACABcaba
cbaCBaCBA
,,,,,,,
,,,,,,
)()()(
)()())((
+=+=+=
+=+=+
∑∑
∑
∑
Следовательно, матрицы A(B + C) и (AB + AC) равны.
Аналогичным образом можно
обосновать свойство 2, убедившись в
попарном равенстве элементов матриц (A + B)C и (AC + BC):
16

Страницы