Линейная алгебра. Конев В.В. - 21 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Определители
21
Пример. Перестановка {2, 4, 1, 3} множества } является 4,3,2,1{
нечетной, поскольку она содержит 3 инверсии.
Теорема 1
Любая транспозиция изменяет четность перестановки.
Доказательство:
Заметим, во-первых, что транспозиция соседних элементов
и
изменяет четность перестановки.
j
i
1+j
i
Во-вторых, транспозиция элементов
и эквивалентна
последовательности
j
i
kj
i
+
)12( −
k
транспозиций соседних элементов.
Действительно, посредством k транспозиций элемента
с соседними
элементами справа от
мы получаем перестановку :
j
i
j
i },,,{ LL
jkj
ii
+
Затем посредством k–1 транспозиций элемента с соседними
элементами слева от
мы получаем требуемую перестановку
:
kj
i
+
kj
i
+
},,,,{ LLL
kjj
ii
+
Полное число
12)1(
−
=
−+
k
k
k
транспозиций является нечетным
числом и, следовательно, четность перестановки изменилась.
Теорема 2
Существует n! различных перестановок множества
},,3,2,1{ nS K
=
.
Доказательство:
Чтобы получить произвольную перестановку множества S, на первую
позицию можно поставить любой из n элементов.

Страницы