Линейная алгебра. Конев В.В. - 23 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Определители
23
Перестановка } содержит одну инверсию элементов 2 и 1. 3,1,2{
Перестановка } содержит одну инверсию элементов 3 и 2. 2,3,1{
2.2. Формальное определение
Пусть – квадратная матрица n-го порядка, и пусть
– некоторая перестановка упорядоченного множества
||||
, ji
aA =
},,,{
21 n
kkk L
},,2,1{ n
S
L= первых n натуральных чисел.
Рассмотрим произведение, содержащее n матричных элементов,
составленных так, чтобы каждая строка и каждый столбец матрицы A были
представлены одним и только одним элементом:
n
knkk
aaa
,,2,1
21
K
. (1)
Первый сомножитель представляет собой элемент из первой строки и k
1
столбца, второй сомножитель представляет вторую строку и k
2
столбец и
т.д.
Согласно Теореме 2 существует n! различных перестановок
индексов, нумерующих столбцы, каждая из которых
порождает произведение вышеуказанного типа и поэтому существует n!
таких произведений.
},,,{
21 n
kkk L
Припишем каждому произведению свой знак в зависимости от четности
перестановки
: знак “+”, если перестановка четная и знак “–”
в случае нечетной перестановки.
},,,{
21 n
kkk L
Чтобы описать это математически, введем число инверсий в
перестановке
, которое обозначим выражением
. Заметим, что
},,,{
21 n
kkk L
},,,{
21 n
kkkP L
⎩
⎨
⎧
−
+
=−
киперестанов нечетной случае в
киперестанов четной случае в
1
1
)1(
},,,{
21 n
kkkP K
Алгебраическая сумма всех возможных произведений
},,,{
,,2,1
21
21
)1(
n
n
kkkP
knkk
aaa
K
K −
называется определителем (или детерминантом) матрицы A:
∑
−=
},,,{
},,,{
,,2,1
21
21
21
)1(det
n
n
n
kkk
kkkP
knkk
aaaA
K
K
K
. (2)
Используется также обозначение в виде массива элементов,
заключенных между вертикальными прямыми:

Страницы