Линейная алгебра. Конев В.В. - 22 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Определители
22
Для каждой из этих n возможностей вторую позицию можно заместить
одним из оставшихся 1 элементов, третью – любым из оставшихся
элементов и т.д. Последняя n-ая позиция может быть замещена
единственным оставшимся элементом. Таким образом, существует n(n –
1)(n – 2)…1 = n! различных перестановок множества S.
−n
2−n
Пример.
Множество }3,2,1{=
S
содержит три элемента, и поэтому число
различных перестановок равно 6!3
=
:
}3,2,1{, { , {. }1,3,2{, }2,1,3 }2,3,1
}
}
}
}1,3,2
}
}1,2,3{, }3,1,2{,
a)
Перестановки
}3,2,1{,
и }1,3,2{ 2,1,3{
являются четными, поскольку каждая из них представляет собой
последовательность четного числа транспозиций элементов
множества S:
{1, 2, 3}
{3, 2, 1}
→ →
1,3,2{,
{1, 2, 3}
{2, 1, 3}
→ →
2,1,3{.
Подсчет числа инверсий приводит к тому же самому результату:
перестановки
{ и } четные, поскольку каждая из
них содержит четное число инверсий элементов. В частности,
перестановка } содержит две инверсии элементов:
}3,2,1{,
2,1,3{
1,3,2{
2 и 1, т.к. число 2 расположено слева от меньшего числа 1.
3 и 1, т.к. число 3 расположено слева от меньшего числа 1.
b)
Аналогично, перестановки
}1,2,3{, и 3,1,2{ }2,3,1{
являются нечетными, поскольку каждая из них представляет собой
последовательность нечетного числа транспозиций элементов
множества S. В частности, перестановка } представляет собой
транспозицию элементов 1 и 3 множества S.
1,2,3{
Говоря на языке числа инверсий, можно сказать, что перестановка
является нечетной, поскольку она содержит нечетное число
инверсий элементов:
}1
,2,3{
3 и 2, т.к. число 3 расположено слева от меньшего числа 2,
3 и 1, т.к. число 3 расположено слева от меньшего числа 1,
2 и 1, т.к. число 2 расположено слева от меньшего числа 1.

Страницы