Линейная алгебра. Конев В.В. - 33 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Определители
33
Алгебраическое дополнение элемента определяется формулой
ji
A
, ji
a
,
ji
ji
ji
MA
,,
)1(
+
−= .
Нетрудно заметить, что алгебраическое дополнение i,j-го элемента
совпадает с минором этого элемента, если сумма индексов, нумерующих
строку и столбец элемента, является четным числом. Для нечетных
значений i+j алгебраическое дополнение отличается от минора только
знаком.
Теорема о разложении определителя по элементам строки.
Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов
строки на их алгебраические дополнения:
∑
=
=
=
+
+
+
=
n
j
jiji
niniiiii
Aa
AaAaAaA
1
,,
,,2,2,1,1,
det K
Доказательство: По определению, определитель матрицы A представляет
собой сумму
∑
−=
},,,{
},,,{
,,,2,1
21
21
21
)1(det
ni
n
ni
kkkk
kkkP
knkikk
aaaaA
KK
K
KK
(*)
по все возможным перестановкам индексов, нумерующих столбцы.
Выберем произвольным образом некоторую строку, например, с
номером i. Один из элементов этой строки представлен в каждом
произведении
. Поэтому слагаемые суммы (*)
можно перегруппировать, объединив в первую группу те, что содержат
элемент
в качестве общего множителя, во вторую группу – члены,
содержащие элемент
, и т.д.
ni
knkikk
aaaa
,,,2,1
21
KK
1,i
a
2,i
a
Другими словами, выражение (*) можно представить в виде линейной
комбинации элементов
(
ji
a
,
n
j
,,2,1 L
=
),

Страницы