Линейная алгебра. Конев В.В. - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Определители
34
,
)1(
)1(det
,,2,2,1,1,
1
,,
1},,,{
},,,{
,,1,1,2,1,
1},,,{
},,,{
,,,2,1
21
21
1121
21
21
21
niniiiii
n
j
jiji
n
jkjkk
kkkP
knkikikkji
n
jkjkk
kkkP
knjikk
AaAaAaAa
aaaaaa
aaaaA
n
n
nii
n
n
n
+++==
=−=
=−=
∑
∑∑
∑∑
=
=
+−
=
+−
K
K
KK
KK
K
KK
K
где
∑
+−
+−
+−
=
+−
−=
},,,,,,{
),,,,,,(
,,1,1,2,1,
111
111
1121
)1(
niii
nii
nii
kkjkkk
kkjkkP
knkikikkji
aaaaaA
LL
LL
KL
.
Покажем, что
представляет собой алгебраическое дополнение
элемента
.
ji
A
,
ji
a
,
Рассмотрим четность перестановки
.
},,,,,,{
111 nii
kkjkk LL
+−
Во-первых, требуется i–1 транспозиций элемента j с соседними
элементами, чтобы получить перестановку
.
},,,,,,{
111 nii
kkkkj LL
+−
Во-вторых, в полученной перестановке, элемент j образует j–1 инверсий
с другими элементами.
Следовательно,
),,,,,(
),,,,,(
11
),,,,,,(
111
111111
)1()1(
)1()1()1(
nii
niinii
kkkkP
ji
kkkkP
ji
kkjkkP
LL
LLLL
+−
+−+−
−−=
=−−=−
+
−+−
Однако
ji
kkkkP
kkkk
kiki
Maa
nii
nii
ii
,
),,,,,(
},,,,,{
,1,1
111
111
11
)1( =−
+−
+−
+−
∑
+−
LL
LL
KL
представляет собой минор элемента
.
ji
a
,
Таким образом,
, что и требовалось доказать.
ji
ji
ji
MA
,,
)1(
+
−=
Поскольку
T
A
A
de
t
de
t
= , то тем самым справедлива и следующая
Теорема о разложении определителя по элементам столбца.
Определитель матрицы A равен сумме произведений элементов
столбца на их алгебраические дополнения:
∑
=
=
+
+
+
=
n
i
jiji
jnjnjjjj
Aa
AaAaAaA
1
,,
,,,2,2,1,1
det K

Страницы