Линейная алгебра. Конев В.В. - 39 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Обратная матрица
3. Обратная матрица
3.1. Терминология
Рассмотрим квадратную матрицу A.
Матрица
1−
A
называется обратной матрицей к A, если
EAAAA ==
−− 11
,
где
E – единичная матрица.
Отметим, несколько забегая вперед, что условием существования
обратной матрицы является отличие от нуля определителя матрицы. В
этой связи уместно ввести соответствующую терминологию.
Матрица называется сингулярной, если ее определитель равен
нулю. В качестве синонимов используются также термины “особая
матрица” или “вырожденная матрица”.
Если
0de
t
≠
A
, то матрица A называется несингулярной (или
неособенной, или невырожденной).
Если в матрице A заменить ее элементы их алгебраическими
дополнениями и перейти к транспонированной матрице, то полученная
матрица называется
присоединенной для A и обозначается символом
A
adj :
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
nnnn
n
n
T
nnnn
n
n
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
AAA
A
,,2,1
2,2,22,1
1,1,21,1
,2,1,
,22,21,2
,12,11,1
adj
L
LLLL
L
L
L
LLLL
L
L
.
Таким образом,
и .
||||adj
,
T
ji
AA =
ij
T
jiji
AAA
,,,
)(adj ==
3.2. Две важные леммы
Пусть A – квадратная матрица n-го порядка.
Лемма 1. Сумма произведений элементов любой строки (или столбца) на
алгебраические дополнения элементов другой строки (столбца) равна
нулю:
)(,0
1
,,
jiAa
n
k
kjki
≠=
∑
=
(1)
и
)(,0
1
,,
jiAa
n
k
jkik
≠=
∑
=
. (2)
39

Страницы