Линейная алгебра. Конев В.В. - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Обратная матрица
Доказательство: Рассмотрим вспомогательную матрицу
A
~
, полученную
из матрицы A заменой j-ой строки i-ой строкой:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
LLLLL
L
LLLLL
L
LLLLL
LLLLL
L
LLLLL
L
LLLLL
niiii
niiii
njjjj
niiii
aaaa
aaaa
A
aaaa
aaaa
A
,3,2,1,
,3,2,1,
,3,2,1,
,3,2,1,
~
Произведем разложение
A
~
de
t
по элементам j-ой строки:
∑∑
==
==
n
k
kjki
n
k
kjkj
AaAaA
1
,,
1
,,
~~~
det .
Заметим, что алгебраическое дополнение элемента некоторой строки
не зависит от элементов этой строки. (Потому что при вычислении
алгебраического дополнения эта строка просто вычеркивается.) Однако
матрицы
A
~
и A отличаются друг от друга только j-ой строкой и,
следовательно,
kjkj
AA
,,
~
=
. Тогда
∑
=
=
n
k
kjki
AaA
1
,,
~
det
.
Пришла пора вспомнить, что матрица
A
~
имеет две одинаковых
строки, что влечет за собой равенство нулю ее определителя.
Таким образом, утверждение (1) доказано:
0
~
det
1
,,
==
∑
=
n
k
kjki
AaA
.
)(
j
i
≠
.
Аналогично доказывается справедливость утверждения (2).
Лемма 2. Если 0de
t
≠
A
, то
EAA
A
AA
A
=⋅=⋅ adj
de
t
1
adj
de
t
1
, (3)
где E – единичная матрица.
Доказательство. Запишем равенства (3) в терминах матричных элементов:
jijiji
AAAAA
,,,
det)adj()adj(
⋅
=
⋅
=
⋅ , (4)
Это означает, что
⎩
⎨
⎧
=
≠
=⋅=⋅
jiA
ji
AAAA
jiji
если,det
если,0
)adj()adj(
,,
(5)
Предположим, что
j
i ≠
. Тогда согласно Лемме 1
40

Страницы