Линейная алгебра. Конев В.В. - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Обратная матрица
0
1
,,
=
∑
=
n
k
kjki
Aa
⇒
0
1
,,
=
∑
=
n
k
T
jkki
Aa
⇒
0)adj(
,
=
⋅
ji
AA ,
и
0
1
,,
=
∑
=
n
k
jkik
Aa
⇒
0
1
,,
=
∑
=
n
k
ik
T
kj
aA .
⇒
0)adj(
,
=⋅
ij
AA
Мы показали, что результатом умножения (в том или ином порядке)
матрицы A и присоединенной матрицы
A
adj является диагональная
матрица. Остается доказать, что все диагональные элементы этой матрицы
равны
A
de
t
:
AAAAA
iiii
det)adj()adj(
,,
=
⋅
=
⋅ .
Этот результат становится очевидным, если воспользоваться теоремами о
разложении определителя по элементам строки и столбца:
ii
n
k
T
ikki
n
k
kiki
AAAaAaA
,
1
,,
1
,,
)adj(det ⋅===
∑∑
==
и
ii
n
k
ik
T
ki
n
k
ikik
AAaAAaA
,
1
,,
1
,,
)adj(det ⋅===
∑∑
==
.
3.3. Теорема об обратной матрице
Для любой несингулярной матрицы A существует
единственная обратная матрица:
A
A
A adj
de
t
1
1
=
−
.
Сингулярная матрица не имеет обратной матрицы.
Доказательство.
1.
Предположим, что существует обратная матрица к A. Тогда
EAA =
−1
.
Учитывая, что определитель произведения матриц равен произведению
определителей, получаем
1de
t
de
t
1
⋅
−
A
A
и, следовательно, 0de
t
≠
A
.
Это означает, что сингулярные матрицы не имеют обратных матриц.
2.
Предположим теперь, что существуют две обратные матрицы,
1
−
A
и
1−
B
. Тогда
EAAAA ==
−− 11
41
и

Страницы