Линейная алгебра. Конев В.В. - 47 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
4. Системы линейных уравнений
4.1. Ранг матрицы
Говорят, что ранг матрицы A размерности nm
×
равен r, если
существует хотя бы одна несингулярная подматрица
r
-го порядка, тогда
как любая подматрица более высокого порядка является сингулярной.
Если это определение озвучить в терминах определителей, то оно
будет выглядеть примерно так:
Матрица
A размерности nm
×
имеет ранг r, если существует хотя бы
один отличный от нуля определитель
r-го порядка, тогда как определитель
любой подматрицы более высокого порядка равен нулю.
Очевидно, что
},min{rank nm
A
≤
.
Для вычисления ранга матрицы можно использовать метод
элементарных преобразований строк и столбцов – в точности тот самый
метод, который применяется для вычисления определителей. Будет
уместным напомнить основные операции метода:
1.
Перестановка строк или столбцов.
2.
Умножение строки ил столбца на ненулевое число.
3.
Прибавление к строке (столбцу) другой строки (столбца),
предварительно умноженной на любое число.
Строки или столбцы, содержащие одни нули, могут быть опущены.
Целью элементарных преобразований является приведение матрицы
к ступенчатой форме, т.е. к квазитреугольному виду вроде того, что
представлено ниже:
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
=
24100
33160
10272
A
Очевидно, что определитель третьего порядка, составленный из элементов
первых трех строк и столбцов, отличен от нуля, и ранг матрицы равен 3:
0)1(62
100
160
272
≠−⋅⋅=
−
−
.
Теорема. В результате элементарных преобразований матрицы ее ранг не
изменяется.
Доказательство. Нам предстоит убедиться только в том, что в результате
элементарных преобразований нулевой определитель остается нулевым, а
ненулевой – ненулевым.
47

Страницы