Линейная алгебра. Конев В.В. - 48 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
1. Перестановка строк или столбцов матрицы изменяет только знак
определителя.
2.
При умножении строки (столбца) матрицы на ненулевое число
определитель умножается на это число.
3.
Определитель не изменяется, если к строке (столбцу) прибавляется
другая строка (столбец).
Таким образом, в результате элементарных преобразований сингулярные
матрицы остаются сингулярными, а несингулярные – несингулярными.
Пример.
1) Найти ранг матрицы
.
2813
11327
3301
2514
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
=A
Решение. Вычтем из третьей строки первую и четвертую строки:
.
2813
1000
3301
2514
2813
11327
3301
2514
4133
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−−→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
−
= rrrrA
Если теперь прибавить третью строку, умноженную на (–2), (–3) и 2,
соответственно, к другим строкам, то в четвертом столбце возникает
максимально возможное число нулей:
.
0813
1000
0301
0514
2
3
2
2813
1000
3301
2514
344
322
311
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
+→
−→
−→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−−
−
−
rrr
rrr
rrr
Далее из четвертой строки вычтем первую строку и затем к полученной
строке прибавим вторую:
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
+→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−→
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
0000
1000
0301
0514
0301
1000
0301
0514
0813
1000
0301
0514
244144
rrrrrr
.
48
Опускаем нулевую строку и на этом завершаем преобразования, поскольку
стало очевидным, что существует подматрица третьего порядка,
определитель которой отличен от нуля, и при этом не существует
отличных от нуля определителей более высокого порядка:

Страницы