Линейная алгебра. Конев В.В. - 50 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
4.3. Метод Гаусса
Рассмотрим расширенную матрицу системы (1):
.)|(
2
1
21
22221
11211
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
=
mmnmm
n
n
b
b
b
aaa
aaa
aaa
BA
L
L
LLLL
L
L
Существует взаимно-однозначное соответствие между
элементарными преобразованиями линейной системы и операциями над
строками расширенной матрицы. Действительно,
–
Перестановка уравнений системы соответствует перестановке строк
расширенной матрицы.
–
Умножение уравнения на ненулевое число соответствует умножению
строки на это число.
–
Сложение уравнений системы соответствует сложению строк матрицы.
Решение системы (1)
методом Гаусса представляет собой не что
иное как преобразование расширенной матрицы к треугольному или
ступенчатому виду:
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⋅
⋅
⋅
⋅⋅
⋅⋅⋅
⇒
M
M
LL
LL
MOLLM
LL
LL
LL
r
rr
b
b
b
b
a
a
a
a
BA
~
~
~
~
000
~
000
~
00
~
0
~
)|(
3
2
1
33
22
11
Матрица такого вида соответствует более простой системе
уравнений, решение которой начинается с решения последнего уравнения,
затем результат подставляется в предпоследнее уравнение и т.д. При
необходимости часть неизвестных рассматривается в качестве свободных
параметров.
4.3.1. Несколько примеров
1) Решить систему уравнений методом Гаусса:
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
−=−+
=
+
−
142
23
1052
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Решение. Рассмотрим расширенную матрицу и приведем ее к
треугольному виду, выполняя операции над строками:
50

Страницы