Линейная алгебра. Конев В.В. - 54 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
54
Теорема
Если и являются решениями однородной системы,
1
X
2
X
то и их линейная комбинация
2211
XcXc
+
является решением этой системы.
Доказательство. По условию теоремы,
0
1
=
AX
и
0
2
=
AX
.
Тогда для любых чисел и
1
c
2
c
0
11
=
AXc
⇒
0)(
11
=
XcA
,
0
22
=
AXc
⇒ 0)(
22
=
XcA
.
Складывая эти тождества, получаем
0)()(
2211
=
+
XcAXcA
,
что влечет
0)(
2211
=
+
XcXcA
.
Следовательно, линейная комбинация решений
2211
XcXc
+
также является
решением.
4.4.1. Примеры
1) Решить однородную систему уравнений методом Гаусса.
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++−
=+−+
=
+
−
−
0424
02
03
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
Решение. Выполним элементарные преобразования над строками матрицы
коэффициентов, приведя ее к ступенчатому виду:
.
9900
2120
3111
11820
2120
3111
4
1424
1211
3111
233
133
122
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−→
−→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
−
−−
−−
−
−
−−
rrr
rrr
rrr
Ранг матрицы равен 3, тогда как число неизвестных равно 4.
Поэтому одну из неизвестных, например,
следует рассматривать как
свободный параметр. Далее нужно присвоить этому параметру
произвольное значение
и выразить базисные неизвестные , и
через c.
4
x
cx =
4 1
x
2
x
3
x
Полученная матрица соответствует следующей системе уравнений:

Страницы