ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Системы линейных уравнений
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−
−
−
+→
+→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
−−
−−
100
320
111
540
320
111
322
113
111
233
133
122
2
2
3
rrr
rrr
rrr
.
Соответствующая система
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=
=−
=
−
+
−
0
032
0
3
32
321
x
xx
xxx
имеет только тривиальное решение
0
321
=
=
=
xxx
.
4.5. Правило Крамера
Имеется один частный случай, когда решение системы линейных
уравнений можно представить в явном виде. Соответствующая теорема
носит название “Правило Крамера” и имеет важное значение в
теоретических исследованиях.
Правило Крамера. Пусть матричное уравнение
A X = B (3)
описывает систему n линейных уравнений с n неизвестными.
Если 0de
t
≠
A
, то система (3) является совместной и имеет единственное
решение описываемое формулой
D
D
x
i
i
=
, i =1, 2, …, n, (4)
где
A
D de
t
= ; – определитель, полученный из D заменой i-го столбца
столбцом свободных членов матрицы B:
i
D
nninninn
nii
i
aabaa
aabaa
D
LL
MLM
LL
1,1,1
11,111,111
+−
+−
=
.
Доказательство. Нам предстоит доказать следующие утверждения:
1)
Решение системы (3) существует и является единственным.
2)
Равенства (4) являются следствием уравнения (3) и обратно,
равенства (4) влекут за собой уравнение (3).
Так как 0de
t
≠
A
, то существует и при том единственная обратная матрица
1−
A
. Умножая обе части матричного уравнения (3) слева на
1−
A
, получаем
его решение:
B
A
X
1−
=
. (5)
58
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 56
- 57
- 58
- 59
- 60
- …
- следующая ›
- последняя »
