Линейная алгебра. Конев В.В. - 59 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
Единственность обратной матрицы доказывает первую часть теоремы.
Чтобы получить i-ый элемент
матрицы X, нужно умножить i-ую
строку матрицы
i
x
1−
A
на столбец B.
Используя выражение для обратной матрицы
A
A
A adj
det
1
1
=
−
и учитывая, что i-ая строка присоединенной матрицы
A
adj составлена из
алгебраических дополнений
, получаем
inii
AAA
,,2,1
,,, K
()
∑
=
−
=
⎟
⎟
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
⋅==
n
k
kik
n
iniiii
bA
D
b
b
b
AAA
D
BAx
1
,
2
1
,,2,1
1
11
)(
M
L
.
Сумма в правой части представляет собой разложение определителя
по
элементам i-го столбца и, следовательно,
i
D
D
D
x
i
i
=
.
Теперь проделаем обратное преобразование, переходя от выражений
∑
=
=
n
k
kiki
bA
D
x
1
,
1
к системе уравнений (3).
Умножим обе части последнего равенства на
и просуммируем по i:
ij
aD
,
∑∑∑
===
=
n
i
n
k
kijik
n
i
iij
baAxaD
11
,,
1
,
.
Изменим порядок суммирования в правой части полученного выражения:
∑∑∑
===
=
n
k
n
i
ijikk
n
i
iij
aAbxaD
11
,,
1
,
. (6)
Ранее было показано, что
DAaA
jkjk
n
i
ijik
δδ
==
∑
=
det
1
,,
,
где
jk
δ
– дельта символ Кронекера.
С учетом того, что дельта символ Кронекера
jk
δ
снимает суммирование,
получаем
BAXbxaDbbDxaD
j
n
i
iijj
n
k
kjk
n
i
iij
=⇒=⇒==
∑∑∑
=== 1
,
11
,
δ
,
что и требовалось доказать.
59

Страницы