Линейная алгебра. Конев В.В. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Системы линейных уравнений
4.6. Обобщенное правило Крамера
Теорема. Необходимым и достаточным условием совместности системы m
линейных уравнений с n неизвестными
⎪
⎪
⎩
⎪
⎪
⎨
⎧
=+++
=+++
=+++
mnmnmm
nn
nn
bxaxaxa
bxaxaxa
bxaxaxa
K
L
K
K
2211
22222121
11212111
(*)
является равенство между собой рангов коэффициентной A и расширенной
A
матриц.
В русско-язычной литературе на эту теорему ссылаются как на теорему
Кронекера-Капелли.
Доказательство.
1. Докажем необходимость условия, сформулированного в теореме, т.е.
покажем, что предположение о совместности системы уравнений влечет за
собой равенство рангов,
AA rankrank
=
.
Рассмотрим расширенную матрицу
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
mnmm
b
b
aa
aa
A M
L
MLM
L
1
,1,
1,11,1
и преобразуем ее, выполнив элементарные операции над столбцами.
Вычтем из последнего столбца первый столбец, умноженный на ,
1
x
второй столбец умноженный на , и т.д. При этом ранг матрицы не меняется:
2
x
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
++−
++−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
)(
)(
rankrank
,11,
,111,11
,1,
,11,1
nnmmm
nn
nmm
n
xaxab
xaxab
aa
aa
A
K
M
K
L
MLM
L
.
С учетом уравнений (*) последний столбец является нулевым и поэтому его
можно опустить. Тогда
A
aa
aa
aa
aa
A
nmm
n
nmm
n
rankrank
0
0
rankrank
,1,
,11,1
,1,
,11,1
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
=
L
MLM
L
M
L
MLM
L
.
2. Перейдем к доказательству достаточности условия: покажем, что равенство
рангов
rAA == rankrank
влечет за собой совместность системы (*).
61

Страницы