ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Системы линейных уравнений
62
Если
r
A
=ran
k
, то существует несингулярная подматрица
A
~
r-го
порядка. Ее коэффициенты при неизвестных указывают нам – какие именно r
неизвестных следует выбрать за базисные переменные, приписав оставшимся
)(
r
n −
неизвестным роль свободных параметров. Укороченная система r
линейных уравнений полностью эквивалентна исходной системе и имеет
(согласно теореме Крамера) единственное решение для любого набора значений
свободных параметров.
Следствие.
1) Если
AA rankrank
=
и совпадает с числом n неизвестных, то система
имеет единственное решение.
2) Если
nAA <= rankrank
, то система имеет бесконечное множество
решений.
Доводы:
Первое утверждение по сути представляет собой просто другую
формулировку правила Крамера.
Равенство рангов коэффициентной и расширенной матриц говорит о
совместности системы. При этом число
AAr rankrank
=
=
устанавливает
количество базисных переменных, тогда как остальные )(
r
n − переменные
играют роль свободных параметров и могут принимать любые значения.
Каждому набору параметров, число которых бесконечно велико, соответствует
свое решение.
Примеры.
1. Дана система линейных уравнений,
⎪
⎩
⎪
⎨
⎧
=++
=++
=
+
+
cxxx
bxxx
axxx
321
321
321
987
654
32
Установить соотношения между параметрами a, b и c, при которых
система является несовместной.
Решение. Составим расширенную матрицу и преобразуем ее к
ступенчатой форме:
.
23
2
000
012
321
2
3
2
024
012
321
3
2
987
654
321
233
133
122
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−−
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
−
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−→
−→
⎟
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎜
⎝
⎛
−
bac
ab
a
ac
a
a
c
b
a
rrrb
rrr
rrr
Если , то система является несовместной. В противном
случае одна из неизвестных является свободной переменной и,
следовательно, система имеет бесконечное множество решений.
023 ≠−− bac
