Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 10 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1.4. Приложения формулы Тейлора
Все нижеприведенные формулы вытекают из формулы Маклорена.
Единственное, что требуется для их вывода – получить выражения для
соответствующих производных n-го порядка.
Для оценки остаточных членов использована форма Лагранжа.
1)
Пусть . Тогда и для 0, что дает
x
exf =)(
xn
exf =)(
)(
1)0(
)(
=
n
f ≥n
)(
!
...
!3!2
1
32
xR
n
xxx
xe
n
n
x
++++++=
(12)
Здесь
1
!)1(
)(
+
+
=
n
c
n
x
n
e
xR
; - точка, расположенная между нулем и c
x
.
Если 0
<
x
, то , так что | | < 1<
c
e
)(xR
n
1
||
!)1(
1
+
+
n
x
n
.
2)
Пусть
x
x
f
sin)( =
. Тогда
)
2
sin()(
)(
π
k
xxf
k
+=
,
2
sin)0(
)(
π
k
f
k
=
.
Очевидно, что
1)12(
)1()0(
−−
−=
nn
f (для нечетных
k
),
0)0(
)2(
=
n
f (для четных
k
).
Следовательно,
)(
!)12(
)1(...
!5!3
sin
12
1
53
xR
n
xxx
xx
n
n
n
+
−
−+−+−=
−
−
(13)
где |
|
)(xR
n
!)2(
||
2
n
x
n
<
для 0<
x
; | |
)(xR
n
!)12(
||
12
+
<
+
n
x
n
для 0>
x
.
3)
Пусть
x
x
f
cos)( =
. Тогда
)
2
cos()(
)(
π
k
xxf
k
+=
,
2
cos)0(
)(
π
k
f
k
=
.
Если
k
– нечетное число, то . 0)0(
)12(
=
+n
f
Если же
k
– четное число, то .
nn
f )1()0(
)2(
−=
Следовательно,
)(
!)2(
)1(...
!4!2
1cos
242
xR
n
xxx
x
n
n
n
+−+−+−=
(14)
где |
|
)(xR
n
!)22(
||
22
+
<
+
n
x
n
для любых
x
.
10

Страницы