ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Если разность
xxx ∆=
−
0
рассматривать как приращение аргумента, то
представляет собой соответствующее приращение
функции.
)()()(
0
xfxfxf ∆=−
Дифференциал аргумента, по определению, равен приращению аргумента,
x
dx ∆= ; .
kkk
xxdxdx )()(
0
−=≡
Дифференциал функции
)(
x
f
в точке
0
xx
=
равен
))(()()(
0000
xxxfdxxfxdf
−
′
=
′
=
.
Дифференциал k-го порядка функции
)(
x
f
в точке
0
xx
=
равен
kkkkk
xxxfdxxfxfd ))(()()(
00
)(
0
)(
0
−==
.
Таким образом, формула Тейлора в терминах дифференциалов имеет
следующий вид:
)(
!
)(
...
!3
)(
!2
)(
)()(
00
3
0
2
0
xR
n
xfdxfdxfd
xdfxf
n
n
+++++=∆
. (8)
Формула Тейлора имеет многочисленные применения. Чаще всего она
используется для аппроксимации функции
)(x
f
многочленом:
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xfxf )(
!
)(
...)(
!1
)(
)()(
0
0
)(
0
0
0
−++−
′
+≅
.
При этом остаточный член
рассматривается как погрешность
аппроксимации и отбрасывается.
)(xR
n
Для обоснования подобного подхода можно привести следующие
доводы. Если
)(x
f
является непрерывной функцией в окрестности точки
, то этим же свойством обладает и остаточный член . Поскольку
и его производная равны нулю в точке , то и в некоторой
окрестности этой точки
остается достаточно малым.
0
x )(xR
n
)(xR
n 0
x
)(xR
n
Можно сделать даже более сильное утверждение и показать, что
является бесконечно малой более высокого порядка по сравнению с
при , т.е.
)(xR
n
n
xx )(
0
−
0
xx →
0
)(
)(
lim
0
0
=
−
→
n
n
xx
xx
xR
. (9)
С этой целью вычислим предел (9), применяя правило Лопиталя:
1
00
)(
)(
lim
)(
)(
lim
00
−
→→
−
′
=
−
n
n
xx
n
n
xx
xxn
xR
xx
xR
.
Согласно равенству (6), выражение под знаком предела представляет собой
неопределенность вида
0
0
, которую можно раскрыть повторным
применением правила Лопиталя.
8
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 6
- 7
- 8
- 9
- 10
- …
- следующая ›
- последняя »
