ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
Согласно формуле Маклорена,
32
6
)0(
2
)0(
)0()0()( x
P
x
P
xPPxP
′
′
′
+
′
′
+
′
+=
.
Очевидно, что
32
)2()2(6)2(81)( −+−+−+= xxxxP ⇒
1)0( =
P
.
2
)2(3)2(128)( −+−+=
′
xxxP ⇒ . 4
0
6
)0( −=
′
P
)2(612)(
−+=
′′
xxP ⇒ . )0( =
′′
P
6)(
=
′′′
xP ⇒ . )0( =
′′′
P
Таким образом,
.
3
41)( xxxP +−=
Чтобы проверить полученный результат, нужно раскрыть скобки в (4) и
привести подобные члены.
1.2. Формула Тейлора для дифференцируемых функций
Теорема. Если функция
)(
x
f
имеет в точке производные до -го
порядка включительно, то ее можно представить в виде
0
x
n
),()(
!
)(
)()(
!
)(
...)(
!1
)(
)()(
0
0
0
)(
0
0
)(
0
0
0
xRxx
k
xf
xRxx
n
xf
xx
xf
xfxf
n
k
n
k
k
n
n
n
+−=
+−++−
′
+=
∑
=
(5)
где функция
и ее производные до n-го порядка обращаются в нуль в
точке
:
)(xR
n
0
xx =
0)(...)()()(
0
)(
000
===
′′
=
′
= xRxRxRxR
n
nnnn
. (6)
Доказательство.
Подставим в равенство (5) :
0
xx =
)()()(
000
xRxfxf
n
+
=
.
⇒ 0)(
0
=xR
n
Продифференцируем обе части равенства (5) и положим
:
0
xx =
)()()(
000
xRxfxf
n
′
+
′
=
′
⇒ 0)(
0
=
′
xR
n
.
Вычисляя производные высшего порядка и полагая
0
xx
=
, получаем
)()()(
0
)(
0
)(
0
)(
xRxfxf
k
n
kk
+=
⇒ 0)(
0
)(
=xR
k
n
для всех n
k
≤≤0, что и требовалось доказать.
Формула (5) называется
формулой Тейлора с остаточным членом , а
ее частный случай, когда
, называют формулой Маклорена,
)(xR
n
0
0
=x
)(
!
)0(
)(
!
)0(
...
!1
)0(
)()(
0
)()(
0
xRx
k
f
xRx
n
f
x
f
xfxf
n
k
n
k
k
n
n
n
+=+++
′
+=
∑
=
. (7)
Формулу Тейлора можно также представить в терминах дифференциалов,
учитывая следующие соображения.
7
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 5
- 6
- 7
- 8
- 9
- …
- следующая ›
- последняя »
