Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 6 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

1. ФОРМУЛА ТЕЙЛОРА
1.1. Формула Тейлора для многочлена
Рассмотрим многочлен целой степени : n
.)(
)(...)()()(
0
0
0
2
02010
∑
=
−=
−++−+−+=
n
k
k
k
n
nn
xxa
xxaxxaxxaaxP
(1)
Покажем, что коэффициенты многочлена можно представить в виде
!
)(
0
)(
k
xP
a
k
n
k
=
( n
k
≤
≤
0),
где
– производные от в точке . (Напомним, что
– по определению.)
)(
0
)(
xP
k
n
)(xP
n 0
x
)()(
00
)0(
xPxP
nn
≡
Полагая в (1)
, получаем
0
xx = )(
00
xPa
n
=
.
Найдем
к-ую производную от в точке
)(xP
n 0
xx
=
.
Во-первых, производная
к-го порядка от равна константе:
k
xx )(
0
−
()
!
0
kxx
dx
d
k
k
k
=−
.
Во-вторых, производные
к-го порядка от слагаемых, содержащих
0
xx
−
в
меньших степенях, равны нулю.
В третьих, производные
к-го порядка от слагаемых, содержащих
0
xx
−
в
больших степенях, содержат множитель
0
xx
−
и поэтому обращаются в
нуль в точке
.
0
xx =
Следовательно,
и, таким образом,
!))(()(
)(
00
)(
kaxxaxP
k
kk
k
k
n
=−=
,)(
!
)(
)(
!
)(
...)(
!1
)(
)()(
0
0
0
)(
0
0
)(
0
0
0
k
n
k
k
n
n
n
nn
nn
xx
k
xP
xx
n
xP
xx
xP
xPxP
−=
−++−
′
+=
∑
=
(2)
Формула (2) называется
формулой Тейлора для многочлена.
В частном случае, когда
, формула (2) принимает вид
0
0
=x
k
n
k
k
n
n
n
nn
nn
x
k
P
x
n
P
x
P
PxP
∑
=
=++
′
+=
0
)()(
!
)0(
!
)0(
...
!1
)0(
)0()(
. (3)
и называется
формулой Маклорена для многочлена.
С помощью формулы (2) любой многочлен можно преобразовать от одного
вида к другому. В качестве примера рассмотрим многочлен
32
)2()2(6)2(81)( −+−+−+= xxxxP (4)
и представим его в виде разложения по степеням
x
.
6

Страницы