Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 9 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

Следуя подобной процедуре, получаем цепочку равенств, приводящих к
ожидаемому результату:
0
!
)(
lim...
)(
)(
lim
)(
)(
lim
)(
1
00
000
===
−
′
=
−
→
−
→→
n
xR
xxn
xR
xx
xR
n
n
xx
n
n
xx
n
n
xx
.
1.3. Формула Тейлора с остаточным членом в форме
Лагранжа
Для контроля погрешности вычислений полезно иметь представления
остаточного члена в различных формах, наиболее употребительная из
которых -
форма Лагранжа,
1
0
)1(
)(
!)1(
)(
)(
+
+
−
+
=
n
n
n
xx
n
cf
xR
, (10)
где - некоторая точка, расположенная между c
x
и .
0
x
Если
1
0
<− xx и , то Mxf
n
≤
+
)(
)1(
0
!)1(
)(
)(
!)1(
)(
)(
1
0
1
0
)1(
→
+
−
≤−
+
=
+
+
+
n
xx
Mxx
n
cf
xR
n
n
n
n
при
.
∞→n
Чем меньше величина
, тем быстрее убывает с ростом n.
Это означает, что многочлен
)(
0
xx −
1
0
)(
+
−
n
xx
n
n
n
xx
n
xf
xx
xf
xfxP )(
!
)(
...)(
!1
)(
)()(
0
0
)(
0
0
0
−++−
′
+=
тем лучше аппроксимирует функцию
)(x
f
, чем меньше и чем
больше n.
)(
0
xx −
Формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа имеет
следующий вид:
1
0
)1(
0
0
0
)(
)(
!)1(
)(
)(
!
)(
)(
+
+
=
−
+
+−=
∑
n
n
k
n
k
k
xx
n
cf
xx
k
xf
xf
. (11)
Частным случаем этой формулы при
0
=
n
является теорема Лагранжа:
))(()()(
00
xxcfxfxf
−
′
+
=
.
Пример. Пусть xxf =)( и
4
0
=
x
. Тогда
2)(
0
=xf
,
4
1
2
1
)(
0
0
==
′
=xx
x
xf ,
32
1
4
1
)(
0
3
0
−=−=
′′
= xx
x
xf
.
Следовательно,
2
)4(
64
1
)4(
4
1
2)( −−−+≈ xxxf
.
В частности,
...234.2641436414125 ==−+≈
.
9

Страницы