Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 11 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

4) Пусть
x
x
f
arctg)( =
, где 11
≤
<
−
x
. Тогда
)(
12
)1(...
53
arctg
12
1
53
xR
n
xxx
xx
n
n
n
+
−
−+−+−=
−
−
(15)
Если 10
<<
x
, то | | <
)(xR
n
12
||
12
1
+
+
n
x
n
.
5)
Пусть
)1ln()(
x
x
f
+=
, где 11
≤
<
−
x
. Тогда
1)0( =
f
,
!)1(
)1(
)1(
)(
1
)(
−
+
−
=
−
n
x
xf
n
n
n
, ,
!)1()1()0(
1)(
−−=
−
nf
nn
что приводит к разложению
)()1(...
32
)1ln(
1
32
xR
n
xxx
xx
n
n
n
+−+−+−=+
−
(16)
1
1
)1(
1
)1()(
−−
+
+
+
−=
n
n
n
n
c
n
x
xR
;
|||| xc
<
.
где
Если 10
<<
x
, то | | <
)(xR
n
1
1
1
+
+
n
x
n
.
6)
Пусть , где - рациональное число. Тогда
m
xxf )1()( += m
, ,
nmn
xnmmmxf
−
++−−= )1)(1)...(1()(
)(
)1)...(1()0(
)(
+−−= nmmmf
n
)(
!
)1)...(1(
...
!2
)1(
1)1(
2
xRx
n
nmmm
x
mm
mxx
n
nm
+
+
−
−
++
−
++=+
(17)
Если
, то = 0.
nm
=
)(xR
n
Например,
.
4324
4641)1( xxxxx ++++=+
1.5. Примеры применения формулы Тейлора
Пример 1. Вычислить приближенно
3
e
.
Решение: Подставим в формулу (12)
31
=
x
и выберем последовательно
:
3,2,1
=n
1)
x
e
x
+≈1 ⇒
333.1
3
4
3
1
1
31
3
≈=+≈= ee
;
2)
2
1
2
x
xe
x
++≈
⇒ 389.1
18
25
3
1
!2
1
3
1
1
2
3
≈=++≈e ;
3)
62
1
32
xx
xe
x
+++≈
⇒ 395.1
81
113
3
1
!3
1
3
1
!2
1
3
1
1
32
3
≈=+++≈e .
Любопытно сравнить эти результаты с точным значением:
...3956.1
3
=e
11

Страницы