ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
4.6.2. Интегрирование по частям
Формула интегрирования по частям для определенных интегралов вытекает
из соответствующей формулы для неопределенных интегралов и имеет вид
∫∫
−=
b
a
b
a
b
a
vduuvudv
, (10)
где
)(
x
u
и
)(
x
v
– любые дифференцируемые функции.
Пример. Вычислить
∫
1
21
arcsin xdx .
Решение. Пусть
x
u arcsi
n
= и dxd
v
=
.
Тогда
2
1 x
dx
du
−
= и
x
v
= .
Применим формулу (10):
∫∫
−
−=
1
21
2
1
21
1
21
1
arcsinarcsin
x
xdx
xxxdx .
Вычислим выражение
1
21
arcsin xx в правой части полученного равенства:
6
5
1222
1
arcsin
2
1
1arcsinarcsin
1
21
π
π
π
=−=−=xx
.
Преобразуем интеграл
∫
−
1
21
2
1 x
xdx
:
∫∫∫
−
−
−=
−
=
−
1
21
2
2
1
21
2
2
1
21
2
1
)1(
2
1
1
)(
2
1
1 x
xd
x
xd
x
xdx
.
Сделаем подстановку
22
1
x
t
−
= и найдем пределы интегрирования по
переменной t:
если
21=x
, то
23432)1(-11
2
2
===−= xt
;
если 1=
x
, то 01
2
=−= xt .
Таким образом,
2
3
1
23
0
23
0
0
23
1
21
2
===−=
−
∫∫∫
tdt
t
tdt
dx
x
x
и, следовательно,
2
3
6
5
arcsin
1
21
−=
∫
π
xdx .
99
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 98
- 99
- 100
- 101
- 102
- …
- следующая ›
- последняя »
