Математический анализ. Формула Тейлора, функции нескольких переменных, интегралы. Конев В.В. - 98 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

что и требовалось доказать.
Теорема 2. Пусть функция
)(
x
f
является непрерывной на интервале и
пусть
],[ ba
)(
x
F
– первообразная для
)(
x
f
на . Тогда
],[ ba
b
a
b
a
xFaFbFdttf )()()()( =−=
∫
. (7)
Заметим, что формула (7) называется
формулой Ньютона–Лейбница.
Доказательство. В соответствии с Теоремой 1, первообразную
)(
x
F
можно
представить в виде
CdttfxF
x
a
+=
∫
)()(
. (8)
Полагая a
x
= , находим значение постоянной
C
:
CdttfaF
a
a
+=
∫
)()(
⇒
)(aFC
=
.
Полагая b
x
= в равенстве (8), получаем ожидаемый результат:
)()()( aFdttfbF
b
a
+=
∫
⇒ .
)()()( aFbFdttf
b
a
−=
∫
Таким образом, чтобы вычислить определенный интеграл от
)(
x
f
по
промежутку
, нужно найти первообразную
],[ ba )(
x
F
, вычислить ее в
точках a и b и вычесть
из .
)(aF )(bF
Примеры.
1)
4
1
)0sin
6
(sin
2
1
2sin
2
1
2cos
12
0
12
0
=−==
∫
π
π
π
xxdx
.
2)
.
2
5
ln7117)2ln72()5ln75(
)ln7(73)
7
3(
33
5
2
3
5
2
5
2
2
5
2
2
−=−−−=
−=−=−
∫∫∫
xx
x
dx
dxxdx
x
x
3)
.4)19(
2
1
)1(
2
1
)(
2
1
2
1
2
3ln
03ln2
3ln
0
2
3ln
0
2
=−=−=
−==
∫
e
eeedxe
xx
4)
13 tg
cos
3
4
3
4
2
−==
∫
π
π
π
π
x
x
dx
.
97

Страницы